La fuerza magnética sobre una carga

Una carga quieta cerca de un imán no siente nada. La misma carga, moviéndose por el mismo lugar, siente una fuerza, y esa fuerza tiene una costumbre rara: nunca apunta hacia donde va la carga, ni en contra, sino de costado. Todo el magnetismo del parcial sale de esa costumbre. Esta nota la arma desde cero: qué es el campo magnético, cómo se calcula la fuerza y hacia dónde apunta, y qué movimiento resulta.

01 · Qué es el campo magnético

La idea de campo, otra vez. En electrostática, el campo eléctrico le asignaba a cada punto una flecha $\overrightarrow{E}$, y la fuerza sobre una carga puesta ahí era $q\overrightarrow{E}$. El campo existía aunque no hubiera ninguna carga para sentirlo. El campo magnético es otra flecha en cada punto, $\overrightarrow{B}$, con la misma lógica: lo crean los imanes y, sobre todo, las corrientes; y está ahí aunque nadie lo sienta.

Lo que lo distingue. La fuerza magnética depende de la velocidad de la carga. Experimentalmente pasan tres cosas:

1. Una carga quieta no siente fuerza magnética. Una que se mueve, sí, y la fuerza es proporcional a su carga $q$ y a su rapidez $v$.
2. Hay una dirección en cada punto en la que la carga puede moverse sin sentir nada. Esa dirección es la de $\overrightarrow{B}$.
3. Si se mueve en cualquier otra dirección, la fuerza es perpendicular a la velocidad y a $\overrightarrow{B}$ a la vez, y es máxima cuando la velocidad es perpendicular a $\overrightarrow{B}$.

El módulo de $\overrightarrow{B}$ se define con esa fuerza máxima: $B=F_{\text{máx}}/(|q|v)$. Su unidad es el tesla: 1 T es el campo que le hace una fuerza de 1 N a una carga de 1 C que lo cruza perpendicularmente a 1 m/s.

$$1\text{T}=1\frac{\text{N}}{\text{C}·\text{m/s}}=1\frac{\text{N}}{\text{A}·\text{m}}$$

La segunda forma sale de que un coulomb por segundo es un ampere, y es la que aparece cuando la carga que se mueve es la corriente de un cable. Un tesla es mucho: los ejercicios usan desde milliteslas (mT) hasta un par de teslas.

02 · La fuerza: F = qv × B

Las tres observaciones de arriba son exactamente lo que hace un producto vectorial. El producto vectorial $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ de dos vectores es otro vector que:

• es perpendicular a $\overrightarrow{a}$ y a $\overrightarrow{b}$, o sea, perpendicular al plano que forman;
• tiene módulo $ab\mathrm{sen}\phi$, con $\phi$ el ángulo entre ellos: cero si son paralelos, máximo si son perpendiculares;
• tiene el sentido que da la regla de la mano derecha (la sección que sigue), y cambia de signo si se invierte el orden: $\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$.

Con eso, la fuerza magnética sobre una carga $q$ que se mueve con velocidad $\overrightarrow{v}$ es

$$\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}F=|q|vB\mathrm{sen}\phi$$

Si además hay campo eléctrico, las dos fuerzas se suman: $\overrightarrow{F}=q(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})$. Esa suma se llama fuerza de Lorentz, y es la que se usa en el selector de velocidad.

Con componentes. Cuando el enunciado da los vectores con $\hat{ı}$, $\hat{ȷ}$ y $\hat{k}$, alcanza con los productos de los versores, que van en ronda:

$$\hat{ı}\times \hat{ȷ}=\hat{k}\hat{ȷ}\times \hat{k}=\hat{ı}\hat{k}\times \hat{ı}=\hat{ȷ}$$

En el otro orden, con signo menos ($\hat{ȷ}\times \hat{ı}=-\hat{k}$), y cualquier versor por sí mismo da cero. En el Ejercicio 4 un electrón va por $\hat{ı}$ con $\overrightarrow{B}$ en $\hat{ȷ}$: $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ va en $\hat{k}$, y la carga negativa da vuelta la fuerza hacia $-\hat{k}$.

03 · La regla de la mano derecha

Para el sentido de $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ sin componentes: mano derecha abierta, los dedos apuntando como $\overrightarrow{v}$; se doblan los dedos hacia $\overrightarrow{B}$ por el camino más corto; el pulgar apunta como $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$. Ésa es la fuerza si la carga es positiva. Si es negativa, la fuerza va al revés.

En las figuras el campo casi siempre es perpendicular a la hoja, y se dibuja con dos símbolos: ⊙, la punta de una flecha que sale de la hoja hacia el lector, y ⊗, la cola de una flecha que entra. Con $\overrightarrow{B}$ entrando y una carga positiva que va hacia la derecha, los dedos hacia la derecha se doblan hacia adentro de la hoja y el pulgar queda hacia arriba:

Con una carga negativa en el mismo lugar, la fuerza apuntaría hacia abajo. Y si el campo saliera de la hoja, también hacia abajo: invertir la carga o el campo invierte la fuerza; invertir los dos la deja como estaba.

04 · Por qué no hace trabajo

El trabajo que hace una fuerza en un tramito de camino $d\overrightarrow{r}$ es $\overrightarrow{F}·d\overrightarrow{r}$, y el tramito va en la dirección de la velocidad: $d\overrightarrow{r}=\overrightarrow{v}dt$. La fuerza magnética es perpendicular a $\overrightarrow{v}$ por construcción, así que

$$dW=q(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})·\overrightarrow{v}dt=0$$

siempre, en cada instante y en cualquier trayectoria. Por el teorema del trabajo y la energía, si el trabajo es cero la energía cinética no cambia, y con ella tampoco la rapidez. El campo magnético cambia hacia dónde va la carga, nunca qué tan rápido. Ningún campo magnético, por intenso que sea, frena o acelera una carga suelta.

Es la gran diferencia con el campo eléctrico. En el electrón entre placas, el campo eléctrico le sumaba al electrón un 12 % de energía en el camino. Un campo magnético en el mismo lugar lo habría doblado sin darle un solo electronvoltio.

05 · El círculo

Una carga que entra a un campo uniforme (el mismo $\overrightarrow{B}$ en toda la región) con la velocidad perpendicular al campo siente una fuerza que tiene siempre el mismo módulo, $|q|vB$, porque $v$ no cambia, y que siempre es perpendicular a la velocidad. Una fuerza constante en módulo y siempre de costado es exactamente la de un movimiento circular uniforme: la fuerza magnética hace de fuerza centrípeta.

Paso 1: la segunda ley en la dirección del centro. La aceleración centrípeta de un círculo de radio $r$ recorrido a rapidez $v$ es $v^2/r$:

$$|q|vB=m\frac{v^2}{r}$$

Paso 2: despejar el radio. Se simplifica una $v$:

$$r=\frac{mv}{|q|B}$$

Más rápida o más pesada, círculo más grande; más carga o más campo, más chico. Un protón a ${10}^6$ m/s en 0,1 T describe un círculo de 10,4 cm; el electrón del Ejercicio 3, a la misma velocidad en 1 T, uno de 5,69 µm, porque pesa 1833 veces menos y el campo es diez veces mayor.

Paso 3: cuánto tarda una vuelta. La frecuencia angular $\omega$ es el ángulo que barre por segundo, $\omega =v/r$. Reemplazando el radio:

$$\omega =\frac{|q|B}{m}T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi m}{|q|B}$$

La velocidad desapareció: una carga más rápida da una vuelta más grande en el mismo tiempo. El protón de recién tiene $\omega =\mathrm{9,58}·{10}^6$ rad/s y tarda 656 ns por vuelta, vaya a la velocidad que vaya. Ojo con los nombres: $\omega$ se mide en rad/s; la frecuencia a secas, $f=\omega /2\pi$, en vueltas por segundo (Hz).

Paso 4: hacia qué lado gira. La fuerza apunta al centro, así que el centro está del lado que marca $q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ en el punto de entrada. Con $\overrightarrow{B}$ entrando a la hoja, una carga positiva gira en sentido antihorario y una negativa en sentido horario. No hace falta memorizarlo: se dibuja la fuerza en el primer punto, como en la figura de la sección 03, y el círculo dobla hacia ese lado.

06 · Si la velocidad no es perpendicular

Velocidad a lo largo del campo. Si $\overrightarrow{v}$ es paralela a $\overrightarrow{B}$, el ángulo entre ellos es cero, $\mathrm{sen}0=0$ y la fuerza es nula. La carga sigue en línea recta con velocidad constante, como si el campo no estuviera, por intenso que sea. Es el Ejercicio 2.

Velocidad oblicua. En el caso general se descompone $\overrightarrow{v}$ en una parte a lo largo de $\overrightarrow{B}$, $v_{\parallel }$, y una perpendicular, $v_{\perp }$. La paralela no da fuerza y se conserva; la perpendicular da el círculo de la sección anterior, con radio $m{v}_{\perp }/|q|B$. Las dos juntas dan una hélice: un resorte estirado a lo largo del campo. En las fórmulas del radio va $v_{\perp }$, no la rapidez entera; el período no cambia, porque no dependía de la velocidad.

El widget es una región cuadrada de 20 cm con $\overrightarrow{B}$ uniforme entrando a la hoja, y un protón (o una carga del mismo tamaño y signo opuesto) que entra por la izquierda, a mitad de altura, con la velocidad perpendicular al campo. Arranca con 2 mT: antes de tocar nada, fijate si la trayectoria parece curva.

Con 2 mT y ${10}^6$ m/s el radio es de 5,22 m: en los 20 cm del recuadro la carga se aparta 3,8 mm de la recta y gira 2,2°. Hay fuerza, y es perpendicular a la velocidad en cada punto (corré la carga y mirá las dos flechas), pero el círculo es tan grande que el pedazo que entra parece recto. Subí el campo y buscá el valor en que la carga deja de salir por arriba y vuelve a salir por la izquierda, después de media vuelta: pasa cuando el círculo entero cabe en la mitad de arriba, con $2r\le 10$ cm, en 0,209 T a ${10}^6$ m/s. Después bajá la rapidez a la mitad y mirá qué lectura cambia y cuál no: el radio se achica a la mitad, el período se queda.

Al salir del recuadro la carga sigue derecho en la dirección que tenía: afuera no hay campo y no hay fuerza. Y sale con la misma rapidez con que entró, con el campo que sea; lo único que el campo decidió es hacia dónde.

07 · En los ejercicios

La receta: primero el dibujo, después las cuentas. Se marca en el punto de entrada la velocidad y el campo, se saca el sentido de $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ con la mano derecha o con los versores, y se lo da vuelta si la carga es negativa. Eso dice hacia dónde dobla. Recién después $r=mv/|q|B$ y $\omega =|q|B/m$. Los errores que aparecen:

1. Olvidarse del signo. La mano derecha da la fuerza sobre una carga positiva. Para un electrón, al revés: es el error más común y da una trayectoria espejada.
2. Usar la rapidez entera en el radio con velocidad oblicua. El radio va con $v_{\perp }$. Y con $\overrightarrow{v}$ paralela a $\overrightarrow{B}$ no hay círculo.
3. Buscar un cambio de energía. El campo magnético no hace trabajo: si un problema pide la rapidez al salir de una región con sólo $\overrightarrow{B}$, es la de entrada.
4. Confundir ω con f. La frecuencia angular es $|q|B/m$, en rad/s; la frecuencia en Hz es eso dividido por $2\pi$.
5. Las unidades de entrada. Milliteslas a teslas; electronvoltios a joules (1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J) antes de sacar la velocidad de una energía.

Los ejercicios que siguen son esta nota aplicada: tres trayectorias y una recta (el signo, con la mano derecha), el electrón que gira en un tesla (el radio y ω) y el selector de velocidad (la fuerza de Lorentz con componentes).

Para tener a mano

1. $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$, de módulo $|q|vB\mathrm{sen}\phi$. Perpendicular a $\overrightarrow{v}$ y a $\overrightarrow{B}$. Con $\overrightarrow{E}$: $q(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})$.
2. Mano derecha: dedos en $\overrightarrow{v}$, se doblan hacia $\overrightarrow{B}$, pulgar en $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$. Carga negativa: al revés. ⊙ sale, ⊗ entra.
3. $\hat{ı}\times \hat{ȷ}=\hat{k}$ y en ronda; al revés, con signo menos.
4. No hace trabajo: la rapidez y la energía cinética no cambian nunca.
5. Velocidad perpendicular a un campo uniforme: círculo con $r=mv/|q|B$, $\omega =|q|B/m$, $T=2\pi m/|q|B$, sin $v$.
6. Velocidad paralela: recta. Oblicua: hélice, con $v_{\perp }$ en el radio.

Para leer más

Sears y Zemansky, volumen 2 (14.ª edición), capítulo 27, «Campo magnético y fuerzas magnéticas»: la sección 27.2 define el campo con la fuerza sobre una carga y trae la regla de la mano derecha; la 27.4, el movimiento de partículas cargadas, con el círculo, la hélice y el argumento de que el campo no hace trabajo. Serway y Jewett, volumen 2, capítulo 28, «Campos magnéticos»: secciones 28.1 y 28.2.