El puente con capacitor

Es el problema 1 del Parcial 2 del 14 de noviembre de 2023. Tiene una sola batería y ninguna llave, pero pide los dos regímenes de siempre: el estacionario y la descarga. La pregunta que esconde está en la descarga: por dónde se descarga el capacitor, y eso depende de qué queda conectado cuando se saca la batería.

01 · El enunciado

La figura del examen no les pone nombre a los vértices; acá van $a$ arriba, $d$ abajo, $b$ a la izquierda y $c$ a la derecha.

02 · Antes de hacer cuentas

Qué está conectado con qué. La batería va entre $a$ y $d$, con el + arriba (la placa larga). De $a$ a $d$ hay dos caminos: por la izquierda, 1 Ω y 4 Ω pasando por $b$; por la derecha, 8 Ω y 2 Ω pasando por $c$. El capacitor cruza de un camino al otro, entre $b$ y $c$: es el puente.

Qué modelo. En el estacionario el capacitor es un corte, el puente desaparece y quedan dos divisores de tensión, uno al lado del otro, colgados de la batería. En la descarga no hay batería: quedan las cuatro resistencias y el capacitor, que es un RC de descarga con la resistencia que el capacitor ve desde sus placas.

El dato llave: qué es «desconectar». Desconectar la batería es sacarla: donde estaba queda un hueco, y $a$ y $d$ sólo se comunican a través de las resistencias. No es lo mismo que poner un cable en su lugar —eso sería cortocircuitarla—, ni que dejarla puesta. Y la diferencia importa, porque cambia qué está en serie con qué.

Qué esperar. Unos ohm por un microfaradio dan microsegundos: la descarga dura unos pocos µs. Y un décimo pide algo más de dos constantes de tiempo.

03 · La resolución

(a) El estacionario. Con el capacitor como corte, cada camino es una resistencia en serie con otra, colgada de los 10 V:

t → ∞: el capacitor es un corte y el puente desaparece.

i) Por la izquierda pasan $10\text{V}/(1+4)\text{Ω}=2\text{A}$, y por la derecha $10\text{V}/(8+2)\text{Ω}=1\text{A}$. Por la fuente pasa la suma:

$$I_{\text{fuente}}=2\text{A}+1\text{A}=3\text{A}$$

ii) Por el capacitor, nada: en el estacionario ya no junta carga, y si pasara corriente seguiría juntando.

iii) Tomando $d$ como cero, cada vértice del medio está a la caída de la resistencia de abajo. $b$ tiene 4 Ω por 2 A, y $c$ tiene 2 Ω por 1 A:

$$V_b=8\text{V}{V}_c=2\text{V}\Rightarrow V_{bc}=V_b-V_c=6\text{V}$$

Es la diferencia de potencial a través del capacitor, con la placa de $b$ positiva y una carga de $1\text{µF}·6\text{V}=6\text{µC}$.

(b) La descarga. Se saca la batería. En el primer instante el capacitor tiene los 6 V de antes y su carga no cambió: es una fuente de 6 V, con el + en $b$, y empuja corriente por todo lo que queda.

t = 0 de la descarga: el capacitor es una fuente de 6 V.

La pregunta es qué resistencia ve. Antes, con la batería, $a$ era un nodo de tres elementos —1 Ω, 8 Ω y la batería— y por eso esas dos resistencias no estaban en serie. Sin la batería, $a$ sólo toca a la de 1 Ω y a la de 8 Ω: toda la corriente que entra por una sale por la otra, y ahora sí están en serie. Lo mismo pasa en $d$ con la de 4 Ω y la de 2 Ω. De $b$ a $c$ quedan dos caminos en paralelo:

Lo que ve el capacitor: 9 Ω por arriba y 6 Ω por abajo, en paralelo.

$$R_{\text{vista}}=\frac{9·6}{9+6}\text{Ω}=\mathrm{3,6}\text{Ω}\tau =R_{\text{vista}}C=\mathrm{3,6}\text{µs}$$

La tensión baja como $V_{bc}(t)=6\text{V}{e}^{-t/\tau }$, y llega a un décimo cuando $e^{-t/\tau }=1/10$:

$$t=\tau \ln 10=\mathrm{3,6}\text{µs}·\mathrm{2,303}=\mathrm{8,29}\text{µs}$$

A los 8,29 µs el capacitor tiene 0,6 V.

Antes de apretar, apostá: ¿la descarga es más rápida si la batería se saca o si se reemplaza por un cable? Después probá las tres.

Con un cable, $a$ y $d$ pasan a ser el mismo punto, y las resistencias se agrupan de otra manera: 1 Ω y 4 Ω en paralelo, en serie con 8 Ω y 2 Ω en paralelo, $\mathrm{0,8}+\mathrm{1,6}=\mathrm{2,4}\text{Ω}$, y el décimo llega a los 5,53 µs. Es otra situación, y más rápida. Y si la batería se deja puesta, el capacitor ya está en su estado final: no se descarga nunca. Las tres lecturas salen de resolver el circuito, no de la fórmula de serie y paralelo.

04 · El chequeo

Las unidades. $\text{Ω}·\text{F}=\text{s}$, y el logaritmo no tiene unidades.

Las corrientes del primer instante. Con 6 V sobre 3,6 Ω, el capacitor entrega 1,67 A al empezar la descarga. Por el camino de 9 Ω tienen que pasar 6/9 = 0,67 A, y por el de 6 Ω, 1 A: suman 1,67 A. Resolver el circuito entero, nodo por nodo, da los mismos tres números.

El puente equilibrado. Si las resistencias guardaran la misma proporción a los dos lados —1 a 4 a la izquierda y 8 a 32, por ejemplo, a la derecha—, $b$ y $c$ quedarían a la misma tensión y el capacitor no se cargaría. Acá la izquierda deja $b$ en 8 V y la derecha deja $c$ en 2 V: el puente está bien lejos del equilibrio, y por eso hay 6 V.

La energía. El capacitor arranca con $\frac{1}{2}C{V}^2=18\text{µJ}$, y toda termina en calor en las cuatro resistencias.

05 · Lo que se lleva

La resistencia de una descarga se mide desde las placas del capacitor. Se para uno en el capacitor y se mira qué hay entre sus dos bornes, con el circuito como quedó en esa situación: lo que se sacó deja un hueco, una batería que sigue puesta cuenta como un cable.

Serie es una propiedad de los nodos, no del dibujo. Dos resistencias están en serie si el nodo que comparten no toca a nada más. Sacar un elemento puede poner en serie lo que antes no lo estaba.

El estacionario, sin el puente. Con el capacitor como corte, un puente es dos divisores de tensión. La tensión del capacitor es la resta de las dos salidas.

Por qué el capacitor es cable, fuente o corte según el instante está en el ensayo del cable y el corte, y la carga y la descarga completas, en la nota del circuito RC.

Qué evalúa este problema

1. Usar el capacitor como corte en el estacionario y reconocer los dos divisores de tensión.
2. Calcular la tensión del capacitor como diferencia de potencial entre dos nodos.
3. Ver que al sacar la batería cambia qué está en serie con qué, y armar la resistencia que ve el capacitor.
4. Despejar el tiempo de una descarga exponencial hasta una fracción de la tensión inicial.