El capacitor es un cable y después un corte

Casi nada de lo que piden los parciales de circuitos necesita la exponencial. De los 22 incisos de los problemas de circuito de 2020 a 2025, 17 se contestan con dos fotos del circuito: la del instante inicial, con el capacitor como cable, y la del final, con el capacitor como corte. Sólo 2 piden el logaritmo.

La carga de un capacitor es una exponencial, y es lo primero que se aprende de los circuitos RC: $q=Q_f(1-e^{-t/\tau })$. Uno esperaría que el parcial girara alrededor de esa fórmula. No: pregunta casi siempre por los dos extremos de la curva, el instante en que se cierra la llave y el momento en que ya no cambia nada. Y los dos extremos se calculan sin exponencial, reemplazando el capacitor por algo que ya se sabe resolver.

01 · Los términos

Un capacitor son dos conductores separados por un aislante, que guardan cargas $+q$ y $-q$. Entre sus bornes hay una tensión (una diferencia de potencial) $V_C=q/C$, donde $C$ es su capacidad. La corriente $I$ es la carga que pasa por segundo; la que llega a un capacitor es lo rápido que cambia su carga, $I=dq/dt$.

Una resistencia $R$ deja pasar una corriente proporcional a su tensión, $V=IR$ (la ley de Ohm). Una batería sostiene una tensión fija, su fem $\epsilon$. Un cable ideal tiene tensión cero entre sus puntas, pase lo que pase por él; un corte es lo contrario: por él no pasa corriente, tenga la tensión que tenga. La llave es la que convierte un corte en un cable en el instante $t=0$.

El instante inicial, $0^{+}$, es justo después de cerrar la llave: tan poco después que nada tuvo tiempo de cambiar de carga. El régimen estacionario es mucho después, cuando todas las corrientes y tensiones dejaron de cambiar. Entre los dos, todo se mueve con la exponencial, y el tiempo que tarda lo da la constante de tiempo $\tau =RC$: en cada $\tau$ se recorre el 63 % de lo que falta, y a los cinco $\tau$ ya está.

02 · La primera foto: el capacitor no cambia de tensión de golpe

La tensión de un capacitor es su carga dividida por $C$. Para cambiarle la carga hay que llevarle corriente, y una corriente finita necesita tiempo para mover carga: en un instante mueve cero. Así que la tensión del capacitor en $0^{+}$ es la que tenía antes de cerrar la llave. Lo demás del circuito puede saltar (las corrientes saltan, las tensiones en las resistencias saltan), el capacitor no.

Eso dice qué es el capacitor en la primera foto. Si estaba descargado, es un cable: tensión cero entre sus bornes, y deja pasar la corriente que el resto del circuito mande. Si estaba cargado a $V_0$, es una batería de $V_0$, con el más en la placa positiva. Con ese reemplazo el circuito ya no tiene capacitores, y se resuelve con Ohm y Kirchhoff, como en el secundario.

03 · La segunda foto: no pasa corriente

Mucho después, nada cambia: la carga del capacitor tampoco. Y si la carga no cambia, la corriente que le llega, $dq/dt$, es cero. En el régimen estacionario el capacitor es un corte. Se lo saca, se resuelve lo que queda, y la tensión del capacitor es la que haya entre los dos puntos donde estaba. Su carga final es $C$ por esa tensión.

Las dos fotos son las dos mitades del mismo hecho: un capacitor se opone a que su tensión cambie rápido, y no se opone a nada cuando ya no cambia. Cable al principio, corte al final.

04 · La exponencial sólo une las dos

Con un solo capacitor (o dos que se puedan juntar en uno), cualquier corriente o tensión del circuito, llamémosla $x$, va de su valor en la primera foto, $x_0$, a su valor en la segunda, $x_f$, siempre con la misma curva:

$$x(t)=x_f+(x_0-x_f)e^{-t/\tau }$$

Lo único que la exponencial agrega a las dos fotos es $\tau$: cuánto tarda en ir de una a la otra. La forma de la curva ya está decidida, y sus dos extremos también. El widget es el circuito de la figura: una batería de 12 V, una resistencia $R_1$ de 3 Ω en serie, y después una de 6 Ω, $R_2$, en paralelo con un capacitor de 2 µF. Desde el capacitor, con la batería hecha cable, las dos resistencias quedan en paralelo: $\tau =(3\parallel 6)\text{Ω}·2\text{µF}=4$ µs. Antes de mover el tiempo, calculá con la primera foto cuánta corriente pasa por $R_2$ al cerrar la llave.

En la primera foto el capacitor descargado es un cable puesto en paralelo con $R_2$, así que $R_2$ queda con cero voltios y no lleva nada: toda la corriente, 12/3 = 4 A, se va por el capacitor. En la segunda, el capacitor es un corte y las dos resistencias quedan en serie: 12/9 = 1,33 A por cada una, y el capacitor con la tensión de $R_2$, 8 V. Llevá el tiempo a cero y a 5τ y compará con las fotos: a 5τ las corrientes están a menos del 1 % de la foto final.

Después cambiá el capacitor a «cargado a 12 V». La primera foto cambia entera: ahora el capacitor es una batería de 12 V puesta sobre $R_2$, que pasa a llevar 2 A, mientras $R_1$ tiene 12 V de un lado y 12 V del otro y no lleva nada. La corriente del capacitor arranca en −2 A: sale de él. La segunda foto no cambia en absoluto, porque en el estacionario el capacitor es un corte y no importa cómo llegó. Y $\tau$ tampoco: es una propiedad del circuito, no de su estado.

05 · El número: 17 de 22

Desde 2020 cada parcial 2 trae un problema de circuito con resistencias, una o dos baterías, uno o dos capacitores y una llave (en 2020 es el Problema 3; en 2023, el 1; en los demás, el 2). Contados inciso por inciso, según qué hace falta para contestarlo:

parcial	sólo las fotos	τ	logaritmo	otra cosa
2020	a b c d	—	—	—
2021	a b c d	—	—	—
2022	a b c d	—	—	—
2023	a	—	b	—
2024	b c	a	—	—
2025	d e	b	c	a
total	17	2	2	1

Sólo las fotos. En 2020, 2021 y 2022 los cuatro incisos piden lo mismo con otras palabras: las tensiones o la carga antes de cerrar la llave (un estacionario, o sea la foto final del circuito anterior), una resistencia que sale de esas tensiones, las corrientes justo después de cerrar (la foto $0^{+}$, con un capacitor cargado como fuente y uno descargado como cable) y los valores mucho después (la foto final). En 2023, el inciso a pide la corriente de la fuente, la del capacitor y su tensión «después de mucho tiempo». En 2024, el b pide la carga del capacitor cuando la llave lleva mucho tiempo cerrada, y el c cuánto cambió respecto de la llave abierta. En 2025, el d y el e piden las cargas y las tensiones «después de un tiempo muy largo».

τ. Dos incisos piden la constante de tiempo y nada más de la exponencial: el a de 2024 («calcule el tiempo característico de carga») y el b de 2025. Para los dos hace falta la resistencia y la capacidad que ve el capacitor, que salen de mirar el mismo circuito con la batería apagada, y ninguna curva.

Logaritmo. Sólo dos incisos usan de verdad la exponencial, y los dos para lo mismo: cuánto tarda en llegar a una fracción. 2023 b, la descarga hasta la décima parte del voltaje inicial; 2025 c, la carga hasta un quinto de la total. Los dos son $\tau \ln$ de algo, con $\tau$ del renglón anterior, y el valor final o inicial que hace de referencia sale, otra vez, de una foto.

Otra cosa. El inciso a de 2025 pide el circuito equivalente con un capacitor, una resistencia y la fuente: es reducir serie y paralelo, sin fotos ni exponencial.

Ninguno de los 22 pide una corriente o una tensión en un instante cualquiera, ni dibujar la curva. La exponencial aparece como un puente entre dos números que se calculan sin ella.

06 · Por qué conviene pensarlo así

La foto evita el error más caro de estos problemas: plantear las ecuaciones de Kirchhoff con el capacitor adentro, con su carga como incógnita, y quedarse con una ecuación diferencial que el parcial no pide resolver. Con las fotos, cada inciso es un circuito de resistencias y baterías, y el capacitor se cambia por lo que es en ese instante antes de escribir una sola ecuación. La pregunta que va primero, en cada inciso, es «¿esto es 0⁺, ∞, o el medio?». Si es 0⁺, cable o fuente; si es ∞, corte; si es el medio, recién ahí $\tau$ y la exponencial.

Hay una sutileza que la primera foto esconde y que aparece en 2020 y 2022: un capacitor cargado en serie con uno descargado. En $0^{+}$ el cargado es una batería y el descargado un cable, cada uno con su reemplazo. Y en el estacionario los dos son cortes, pero las cargas finales ya no son iguales: lo que se mueve a través de los dos es la misma carga, así que la que cambia en uno cambia igual en el otro, y la diferencia que traían se conserva.

Lo que queda es una costumbre: dibujar las dos fotos antes de leer qué piden. Una con el capacitor como cable (o como la batería que es, si estaba cargado), otra con el capacitor como corte. Con eso se contestan diecisiete de cada veintidós incisos, y los otros cinco piden algo que se calcula en una línea a partir de las mismas fotos. La teoría completa del RC, con la deducción de la exponencial y el tiempo hasta una fracción, está en el circuito RC. Los problemas de parcial resueltos con las dos fotos dibujadas aparte empiezan por el de 2025, y el ejercicio del práctico que pide $\tau$ con dos capacitores es dos capacitores y la constante de tiempo.

Para leer más: Sears-Zemansky, vol. 2 (14.ª ed.), cap. 26, sección 26.4 (circuitos R-C), que arranca justamente por los dos extremos antes de resolver la ecuación.