La esfera de densidad kr

Es el problema de electrostática del Parcial 2 del 14 de noviembre de 2023, y el único de los parciales viejos que pide la ley de Gauss con una densidad que no es uniforme. Esa es toda la novedad: la carga encerrada ya no es «densidad por volumen», hay que integrarla.

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Un aviso de notación. Acá $k$ no es la constante de Coulomb: es la constante de la densidad, y como $\rho$ se mide en $\text{C/m³}$ y $r$ en metros, $k$ se mide en $\text{C/m⁴}$. Para no mezclarlas, todos los campos de esta nota se escriben con ${\epsilon }_0$.

Qué modelo. La densidad depende sólo de la distancia al centro. Eso es simetría esférica: girando la esfera alrededor de cualquier eje que pase por el centro, nada cambia. Entonces el campo sólo puede ser radial, y su módulo sólo puede depender de $r$. Con esas dos cosas, una superficie gaussiana esférica de radio $r$ tiene $E$ constante y perpendicular en todos sus puntos, y el flujo es $E·4\pi r^2$. Gauss da el campo con una división:

$$E(r)4\pi r^2=\frac{q_{\text{enc}}(r)}{{\epsilon }_0}$$

Cuál es la llave. $q_{\text{enc}}$, la carga que queda adentro de la superficie gaussiana. Con $\rho$ constante sería $\rho$ por el volumen; con $\rho =kr$, cada capa tiene otra densidad. Se corta la esfera en cáscaras finas de radio $r^{\prime }$ y espesor $d{r}^{\prime }$, cuyo volumen es el área por el espesor, $4\pi r^{\prime 2}d{r}^{\prime }$, y se suman:

$$q_{\text{enc}}(r)={\int }_0^r\rho (r^{\prime })4\pi r^{\prime 2}d{r}^{\prime }$$

Qué esperamos. La densidad es nula en el centro y máxima en el borde: la carga vive sobre todo afuera. Una esfera chica alrededor del centro encierra muy poca, menos que si la misma carga estuviera repartida parejo. Así que, adentro, el campo tiene que crecer más despacio al principio que el de la esfera uniforme, que crece como $r$. Afuera, en cambio, una esfera de radio $r>R$ encierra toda la carga, y el campo tiene que ser el de una carga puntual $Q$ en el centro, como en cualquier distribución esférica.

03 · La resolución

(a) La carga total. Es la carga encerrada hasta el borde:

$$Q={\int }_0^{R}k{r}^{\prime }4\pi r^{\prime 2}d{r}^{\prime }=4\pi k{\int }_0^R{r}^{\prime 3}d{r}^{\prime }$$ $$Q=4\pi k\frac{R^4}{4}=\pi k{R}^4$$

(b) El campo afuera. Para $r>R$ la superficie gaussiana encierra toda la esfera, $q_{\text{enc}}=Q$:

$$E_{\text{ext}}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}=\frac{k{R}^4}{4{\epsilon }_0{r}^2}$$

Como vector, ${\overrightarrow{E}}_{\text{ext}}=E_{\text{ext}}\hat{r}$: radial, hacia afuera si $k>0$.

(c) La carga dentro de un radio $r<R$. La misma integral, cortada en $r$:

$$q_{\text{enc}}(r)=4\pi k\frac{r^4}{4}=\pi k{r}^4=Q{\left(\frac{r}{R}\right)}^4$$

La última forma es la que se lee: en la mitad del radio hay ${(1/2)}^4=1/16$ de la carga. Con densidad uniforme habría $1/8$.

(d) El campo adentro. Gauss con esa carga encerrada:

$$E_{\text{int}}4\pi r^2=\frac{\pi k{r}^4}{{\epsilon }_0}\Rightarrow E_{\text{int}}=\frac{k{r}^2}{4{\epsilon }_0}$$

Crece como $r^2$, más despacio que la esfera uniforme al principio, como se esperaba.

(e) El gráfico. Las dos expresiones se juntan en $r=R$:

$$E_{\text{int}}(R)=\frac{k{R}^2}{4{\epsilon }_0}=E_{\text{ext}}(R)$$

El dibujo que se entrega: una parábola que sale de cero con tangente horizontal y sube hasta $k{R}^2/(4{\epsilon }_0)$ en $r=R$; ahí, sin salto, empieza una caída como $1/r^2$ que tiende a cero. El máximo es la superficie.

Las dos curvas comparten la carga total y el radio. Afuera son la misma curva, porque Gauss sólo ve $q_{\text{enc}}$, y afuera las dos encierran $Q$. Adentro se separan: en $r=R/2$ la de $\rho =kr$ vale un cuarto del máximo y la uniforme, la mitad. Lo que mide la distancia entre las curvas es dónde está la carga, no cuánta hay.

04 · El chequeo

Unidades. $k{r}^2/{\epsilon }_0$ son $\text{C/m⁴}·\text{m²}/\text{(C²/N·m²)}=\text{N/C}$. $\pi k{R}^4$ son $\text{C/m⁴}·\text{m⁴}=\text{C}$.

Tres controles que no cuestan nada. $q_{\text{enc}}(R)$ tiene que dar $Q$, y da. $E_{\text{int}}$ y $E_{\text{ext}}$ tienen que coincidir en $R$, porque no hay una carga superficial que produzca un salto, y coinciden. Y en el centro el campo tiene que ser cero, porque no hay dirección privilegiada, y da cero.

05 · Lo que se lleva

Gauss es dos pasos. El flujo, que con simetría esférica es siempre $E·4\pi r^2$, y la carga encerrada, que es donde cambia cada problema. Cuando $\rho$ depende de $r$, se integra por cáscaras, $dq=\rho 4\pi r^{2}dr$. Lo que nunca se hace es multiplicar $kr$ por $\frac{4}{3}\pi r^3$: da $\frac{4}{3}\pi k{r}^4$, con la misma potencia y otro coeficiente, y nada en la cuenta avisa del error.

Afuera, todas las esferas son iguales. Uniforme, de densidad $kr$, cáscara o puntual: con la misma $Q$, el mismo campo afuera. Lo que distingue a una de otra está adentro.

El exponente del gráfico sale de la densidad. Con $\rho \propto r^n$, $q_{\text{enc}}\propto r^{n+3}$ y $E_{\text{int}}\propto r^{n+1}$. La uniforme es $n=0$; ésta, $n=1$.

Qué evalúa este problema

1. Justificar la ley de Gauss con la simetría: campo radial y de módulo constante sobre la superficie gaussiana.
2. Calcular una carga encerrada con densidad variable, integrando por cáscaras esféricas.
3. Ver que afuera la esfera es una carga puntual, y que el campo es continuo en la superficie.
4. Dibujar $E(r)$ con su forma: $r^2$ adentro, $1/r^2$ afuera, máximo en $R$.