Tres cargas alineadas

Es el problema de electrostática del Parcial 2 del 10 de noviembre de 2022. Las tres primeras preguntas son las de tres cargas en fila del práctico, con otros números. Las otras tres son las que piensan: dónde se anula el potencial, dónde el campo, y si el campo puede anularse fuera de la recta.

01 · El enunciado

1. Tres cargas q₁ = −3 µC, q₂ = 2 µC y q₃ = 4 µC se colocan alineadas desde la primera a la tercera. La separación entre cargas sucesivas es de 300 mm.

(a) Escriba la fuerza resultante sobre cada carga y grafíquelas.

(b) Calcule y dibuje el vector campo eléctrico E en la posición de cada carga.

(d) Encuentre la posición de los puntos sobre el eje que une las cargas en donde el potencial eléctrico se anula.

(e) ¿Es posible que el campo se anule fuera del eje donde se encuentran las cargas? Justifique.

(f) Dar la distancia respecto al origen, sobre la misma línea de las cargas, donde habría que colocar un positrón para que no sienta fuerza electrostática alguna.

Nota: no olvidar dar toda respuesta con unidades adecuadas.

02 · Antes de hacer cuentas

El origen. El enunciado no lo fija, y (f) pide una distancia «respecto al origen»: hay que elegirlo y decirlo. Va en $q_{1}$ , con $x$ creciendo hacia $q_{3}$ . Entonces $x_{1} = 0$ , $x_{2} = d = 0,300 m$ y $x_{3} = 2 d = 0,600 m$ . Los 300 mm, a metros antes de cualquier cuenta.

Qué esperamos. Todo está sobre una recta, así que fuerzas y campos en las cargas son de una sola componente: el signo dice el sentido. $q_{1}$ es la única negativa, y las dos positivas la atraen: su fuerza va hacia $+ x$ . $q_{2}$ está atraída por $q_{1}$ y empujada por $q_{3}$ , las dos hacia $- x$ : es la que más fuerza siente. Y las tres fuerzas tienen que sumar cero, porque son tres pares de acción y reacción.

Cuál es la llave. Para (d) y (f), tramo por tramo. La recta se parte en cuatro tramos —a la izquierda de $q_{1}$ , entre $q_{1}$ y $q_{2}$ , entre $q_{2}$ y $q_{3}$ , a la derecha de $q_{3}$ — y en cada uno las distancias se escriben sin valor absoluto. Antes de plantear, conviene preguntar en qué tramos puede haber un cero, mirando los signos. Para (e), escribir las dos componentes del campo en un punto fuera de la recta.

03 · La resolución

(a) Las fuerzas. Primero los tres pares, en módulo, con la ley de Coulomb, $F = k | q_{i} q_{j} | / r^{2}$ :

par	distancia	módulo	tipo
1–2	0,300 m	0,599 N	atracción
1–3	0,600 m	0,300 N	atracción
2–3	0,300 m	0,799 N	repulsión

Después, sobre cada carga, con el signo del sentido:

$q_{1}$ : la atraen $q_{2}$ y $q_{3}$ , las dos hacia $+ x$ . $F_{1} = 0,599 + 0,300 = + 0,899 N$ .
$q_{2}$ : la atrae $q_{1}$ , hacia $- x$ ; la empuja $q_{3}$ , también hacia $- x$ . $F_{2} = - 0,599 - 0,799 = - 1,40 N$ .
$q_{3}$ : la atrae $q_{1}$ , hacia $- x$ ; la empuja $q_{2}$ , hacia $+ x$ . $F_{3} = - 0,300 + 0,799 = + 0,499 N$ .

El gráfico: tres flechas horizontales, la de $q_{1}$ y la de $q_{3}$ hacia la derecha, la de $q_{2}$ hacia la izquierda y la más larga. Suman cero.

(b) Los campos en cada carga. «El campo en la posición de una carga» es el de las otras dos: una carga no se empuja a sí misma. Ya está hecho, porque $\vec{E} = \vec{F} / q$ :

E_{1} = \frac{0,899 N}{- 3 \cdot 10^{- 6} C} = - 3,00 \cdot 10^{5} N/C

E_{2} = - 6,99 \cdot 10^{5} N/C, E_{3} = + 1,25 \cdot 10^{5} N/C

En $q_{1}$ el campo apunta al revés que la fuerza, hacia $- x$ : el campo de dos cargas positivas se aleja de ellas, y la que le da vuelta a la fuerza es la carga negativa de $q_{1}$ . En $q_{2}$ y $q_{3}$ , que son positivas, campo y fuerza van juntos.

V_{1} = k (\frac{q_{2}}{d} + \frac{q_{3}}{2 d}) = 1,20 \cdot 10^{5} V

V_{2} = k (\frac{q_{1}}{d} + \frac{q_{3}}{d}) = 3,00 \cdot 10^{4} V

V_{3} = k (\frac{q_{1}}{2 d} + \frac{q_{2}}{d}) = 1,50 \cdot 10^{4} V

(d) Dónde se anula el potencial. Ahora el potencial de las tres, en un punto $x$ cualquiera del eje. Tramo por tramo:

Entre $q_{2}$ y $q_{3}$ , y a la derecha de $q_{3}$ : no hay cero. Las dos positivas están más cerca que $q_{1}$ y suman más carga. A la derecha de $q_{3}$ cada término positivo ya le gana a $- 3 / x$ ; entre $q_{2}$ y $q_{3}$ , el potencial no baja de $2,85 \cdot 10^{5} V$ .
Entre $q_{1}$ y $q_{2}$ , $0 < x < d$ : al lado de $q_{1}$ el potencial es muy negativo, y al lado de $q_{2}$ muy positivo: hay un cero. En µC, $\frac{- 3}{x} + \frac{2}{d - x} + \frac{4}{2 d - x} = 0$ Multiplicando por los tres denominadores queda $9 x^{2} - 17 d x + 6 d^{2} = 0$ , cuyas raíces son $x = d (17 \pm \sqrt{73}) / 18$ . Sólo la del signo menos cae en el tramo: $x = 0,141 m$
A la izquierda de $q_{1}$ , $x = - s$ : cerca de $q_{1}$ manda ella y el potencial es negativo; lejos manda la carga total, $+ 3 µC$ , y es positivo: hay otro cero. $\frac{- 3}{s} + \frac{2}{s + d} + \frac{4}{s + 2 d} = 0$ Da $3 s^{2} - d s - 6 d^{2} = 0$ , con la raíz positiva $s = d (1 + \sqrt{73}) / 6$ : $x = - 0,477 m$

El potencial se anula en dos puntos del eje: $0,141 m$ a la derecha de $q_{1}$ y $0,477 m$ a su izquierda.

(e) ¿Puede anularse el campo fuera del eje? No. En un punto $(x, y)$ con $y \neq 0$ , llamando $r_{i}$ a la distancia a cada carga, las dos componentes son

E_{x} = k \sum_{i} \frac{q_{i} (x - x_{i})}{r_{i}^{3}}, E_{y} = k y \sum_{i} \frac{q_{i}}{r_{i}^{3}}

Para que $E_{y}$ sea cero con $y \neq 0$ , la suma $\sum q_{i} / r_{i}^{3}$ tiene que ser cero. Y $E_{x}$ se separa en dos sumas, $k x \sum q_{i} / r_{i}^{3}$ menos $k \sum q_{i} x_{i} / r_{i}^{3}$ : la primera es esa misma suma, que vale cero, y queda

E_{x} = - k \sum_{i} \frac{q_{i} x_{i}}{r_{i}^{3}} = - k (\frac{q_{2} d}{r_{2}^{3}} + \frac{q_{3} 2 d}{r_{3}^{3}})

El término de $q_{1}$ no está porque $x_{1} = 0$ , y los dos que quedan son positivos: $E_{x}$ no puede ser cero. Fuera del eje, las dos componentes nunca se anulan juntas. El argumento usa algo de esta configuración: la única carga negativa está en un extremo. Con otra configuración la respuesta cambia, y hay filas de tres cargas cuyo campo sí se anula fuera del eje, en un anillo alrededor de la recta.

(f) Dónde no siente fuerza un positrón. El positrón tiene la carga del electrón con signo positivo. La fuerza sobre él es $e \vec{E}$ , así que la pregunta es dónde $\vec{E} = 0$ sobre el eje. Otra vez tramo por tramo, mirando hacia dónde empuja cada carga a una carga de prueba positiva:

Entre $q_{1}$ y $q_{2}$ : $q_{1}$ la atrae hacia la izquierda, $q_{2}$ y $q_{3}$ la empujan hacia la izquierda. Todo suma: no hay cero.
A la derecha de $q_{3}$ : $q_{2}$ y $q_{3}$ empujan a la derecha, están más cerca y tienen más carga que $q_{1}$ , que tira a la izquierda. No hay cero.
Entre $q_{2}$ y $q_{3}$ : $q_{2}$ empuja a la derecha, $q_{3}$ y $q_{1}$ a la izquierda. Cerca de cada una gana ella: hay un cero, donde $\frac{2}{{(x - d)}^{2}} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{{(2 d - x)}^{2}}$ Es una ecuación de cuarto grado, y en el parcial se resuelve tanteando con la calculadora: en $x = 0,40 m$ el campo vale $+ 7,30 \cdot 10^{5} N/C$ , en $0,45 m$ vale $- 9,32 \cdot 10^{5} N/C$ , y achicando el intervalo, $x = 0,420 m$
A la izquierda de $q_{1}$ : cerca, $q_{1}$ atrae a la derecha; lejos, la carga total positiva empuja a la izquierda. Hay otro cero, donde $3 / s^{2} = 2 / {(s + d)}^{2} + 4 / {(s + 2 d)}^{2}$ . Entre $- 1,0$ y $- 1,2 m$ el campo cambia de signo, y el cero está en $x = - 1,16 m$

El positrón no siente fuerza a $0,420 m$ del origen, entre $q_{2}$ y $q_{3}$ , y a $1,16 m$ del origen del lado opuesto a $q_{2}$ . En ninguno de los dos se queda quieto si se lo corre un poco en cualquier dirección: un equilibrio puramente electrostático nunca es estable en todas las direcciones. El enunciado sólo pregunta dónde la fuerza es cero.

El eje vertical está comprimido: cerca de las cargas el campo y el potencial se van a infinito, y a escala lineal no se vería nada más. La compresión conserva el signo y los ceros, que es lo que importa acá. Con la curva de $V$ se ven los dos ceros de (d); con la de $E$ , los dos de (f), y que no coinciden con los de $V$ : el potencial y el campo se anulan en lugares distintos.

04 · El chequeo

La suma de fuerzas. $0,899 - 1,398 + 0,499 = 0$ , con los decimales completos. Si no diera cero, algún par estaría contado con un sentido mal.

Unidades. $k q^{2} / r^{2}$ con µC y metros da newtons del orden de uno: razonable para microcoulombs a decímetros. El campo, en N/C; el potencial, en voltios. Los «300 mm» usados como 300 darían una fuerza un millón de veces más chica.

Los ceros. Reemplazando $x = 0,141$ en $V$ se obtiene cero, y lo mismo con $- 0,477$ . Los ceros de $E$ están lejos de los de $V$ , como tiene que ser: $E$ es la pendiente de $V$ cambiada de signo, y se anula donde $V$ tiene un máximo o un mínimo, no donde cruza el cero.

05 · Lo que se lleva

Antes de plantear, descartar tramos. En cada tramo, mirar hacia dónde empuja cada carga, o qué signo tiene cada término. Así se ve en qué tramos puede haber un cero y en cuáles no, y se plantea una ecuación sola por cero.

Los ceros de V y los de E son preguntas distintas. $V$ se anula donde los números se compensan; $E$ , donde los vectores. El mismo cálculo de dónde se anulan V y E, con una carga más.

Una pregunta de «¿es posible…?» pide un argumento. En (e) no alcanza con «no, por simetría»: hay que escribir las componentes y mostrar cuál no puede anularse.

Qué evalúa este problema

Coulomb y superposición sobre una recta: sumar fuerzas con su signo, y ver que suman cero.
Distinguir el campo en la posición de una carga de la fuerza sobre ella, que difieren en el signo de esa carga.
El potencial como suma de números, y la búsqueda de sus ceros tramo por tramo.
Justificar con las componentes si el campo puede anularse fuera de la recta.
Traducir «no siente fuerza» a $\vec{E} = 0$ , y hallar esos puntos.