Práctico 4 · Ejercicio 10 · con q y 3q a un metro, el campo se anula a 0,366 m de la chica y el potencial en ninguna parte; con q y −3q es al revés. La llave es partir la recta en tres tramos.
Considere dos cargas puntuales q y 3q ubicadas a una distancia d = 1 m. Encuentre la posición de los puntos sobre el eje que une las cargas en donde: (a) V = 0, (b) |E⃗| = 0.
Se pone en el origen y en . Las dos cargas parten la recta en tres tramos, que van a ser el esqueleto de toda la resolución:
Qué dice «q y 3q». Las dos con el mismo signo: si una fuera negativa, el enunciado diría . No importa cuál signo, siempre que sea el mismo para las dos; para fijar ideas, positivas. Y el valor de no está dado porque no hace falta: las dos condiciones son de la forma «algo de = algo de », y se cancela. Las posiciones dependen sólo del cociente 3 entre las cargas y de .
El potencial, antes de escribirlo. El potencial de cada carga es un número, , con el signo de la carga, y el de las dos juntas es la suma de esos números (superposición). Dos números positivos no suman cero. La expectativa para (a) es que no haya ningún punto.
El campo, antes de escribirlo. El campo de cada carga es una flecha que se aleja de ella (son positivas), y el total es la suma de flechas. Para que dos flechas sumen cero tienen que tener el mismo largo y sentidos opuestos. Mirando la figura, tramo por tramo:
Y dentro de II el punto tiene que estar más cerca de : para que una carga tres veces menor empate, hay que estar más cerca de ella. La expectativa para (b) es un solo punto, entre las cargas, en la mitad de . Esto, que se decidió sin una sola cuenta, es la parte que más importa del ejercicio.
(a) En un punto de la recta, las distancias a las cargas son y , y el potencial es
Las dos fracciones son positivas en los tres tramos: el paréntesis es siempre mayor que cero, y tiene en todas partes el signo de . No hay ningún punto a distancia finita donde . El potencial sólo tiende a cero lejos de las dos cargas, para , que es donde la convención le puso el cero.
(b) Sólo hay que trabajar en el tramo II, donde . Ahí la flecha de mide hacia la derecha y la de mide hacia la izquierda. Se anulan cuando miden lo mismo:
En el tramo II, y son positivos, así que se puede sacar raíz sin perder nada:
El campo se anula en un solo punto, a 0,366 m de y 0,634 m de . Está en el tramo II y en la mitad de , como se esperaba.
Si en vez de mirar tramos se eleva al cuadrado. Desarrollando queda , con dos raíces:
La segunda cae en el tramo I, donde las dos flechas apuntan a la izquierda: ahí los módulos son iguales, pero las flechas se suman en vez de cancelarse, y el campo vale el doble de cada una. Es una raíz falsa. Igualar módulos y elevar al cuadrado borra la información de los sentidos, y por eso cada raíz hay que llevarla de vuelta a su tramo y preguntar si ahí las flechas se oponen.
Con y todo se da vuelta, y vale la pena hacerlo con el mismo método porque es la versión que aparece en los parciales.
(a) El potencial. Ahora es , y se anula donde : donde la distancia a la grande es el triple que a la chica. En cada tramo los valores absolutos se sacan con su signo y la ecuación es lineal:
Dos puntos, los dos más cerca de la chica: m y m.
(b) El campo. La flecha de se aleja de ella; la de va hacia ella. En II las dos apuntan a la derecha: no se cancelan. En III se oponen, pero la grande está más cerca y además es mayor, así que gana siempre. Sólo queda I, donde se oponen y estar lejos de la grande puede compensar que valga el triple. Con , las distancias son y :
Es exactamente la raíz que se descartó en (b) del caso original. La cuadrática de los módulos es la misma para y para , porque el cuadrado no ve el signo; lo que cambia es en qué tramo las flechas se oponen, y eso decide cuál de las dos raíces es la verdadera.
| cargas | V = 0 | E = 0 |
|---|---|---|
| ningún punto | 0,366 m (II) | |
| 0,25 m (II) y −0,5 m (I) | −1,366 m (I) |
En ninguna fila coincide un cero del potencial con uno del campo. No es casualidad, y por qué no puede pasar es la tesis de el campo con flechas, el potencial con números, que tiene además un widget para mover las cargas y ver los ceros moverse.
Reemplazando. En m: y : las flechas miden lo mismo. Para el caso opuesto, en 0,25 m: y ; en −0,5 m: y . Los números se cancelan.
Un caso límite. Con cargas iguales en vez de y , la misma cuenta da : el punto medio, que es lo que pide la simetría. Y cuanto mayor el cociente entre las cargas, más se acerca el cero a la chica: con un cociente , , que tiende a cero.
Unidades. Las posiciones salen como un número por : metros. No aparece ni en el resultado, y no tienen por qué aparecer.
Tres tramos, siempre. Las cargas parten la recta, y en cada pedazo los valores absolutos tienen signo conocido y las flechas sentido conocido. Para el potencial la ecuación de cada tramo es lineal y se verifica que la solución caiga en el tramo. Para el campo, primero se descartan los tramos donde las flechas van para el mismo lado, y recién después se iguala.
Dónde buscar, sin cuentas. El campo de dos cargas del mismo signo se anula entre ellas, más cerca de la chica; de signos opuestos y distinto tamaño, afuera, del lado de la chica. El potencial de dos cargas del mismo signo no se anula nunca; de signos opuestos y distinto tamaño, en dos puntos, los dos del lado de la chica. Si son iguales y opuestas, el potencial se anula sólo en el punto medio y el campo en ninguno. Decidir eso antes de escribir es lo que permite reconocer una raíz falsa cuando aparece.
La trampa. Elevar al cuadrado y quedarse con las dos raíces. En este ejercicio la raíz falsa no es un número raro: es un punto razonable, afuera, a 1,366 m, que encima es la respuesta correcta de otro problema.