El campo con flechas, el potencial con números

El campo se suma con flechas y el potencial con números, y por eso los ceros de uno no son los del otro: con dos cargas del mismo signo las flechas se anulan donde el potencial vale 67 V, y con signos opuestos el potencial se anula en dos puntos donde el campo no.

Dos cargas positivas en una recta, a un metro una de la otra: una de 1 nC y otra de 3 nC. ¿Hay algún punto entre ellas donde «no pase nada»? La pregunta tiene dos respuestas, según qué se entienda por «nada». Si es que una carga de prueba puesta ahí no sienta fuerza, ese punto existe y está a 0,366 m de la chica. Si es que el potencial valga cero, no existe en ninguna parte. Y si se le da vuelta el signo a la grande, pasa exactamente lo contrario: el potencial se anula en dos puntos y en ninguno de los dos se anula el campo.

No es una casualidad de estos números. Es que el campo y el potencial se suman de dos maneras distintas, y esta nota es sobre esa diferencia.

01 · Lo que una carga le hace al espacio

Una carga eléctrica $q$ es una propiedad de la materia que viene con signo: hay positivas y negativas, se mide en coulombs (C), y dos cargas del mismo signo se repelen mientras que dos de signo opuesto se atraen. Una carga puntual es una carga cuyo tamaño no importa frente a las distancias del problema.

Una carga cambia el espacio que la rodea, y ese cambio se describe de dos maneras. La primera es el campo eléctrico $\overrightarrow{E}$: en cada punto, la fuerza que sentiría una carga de prueba positiva puesta ahí, dividida por esa carga. Es una flecha en cada punto del espacio, se mide en N/C, y para una carga puntual a distancia $r$ su largo es

$$\left|\overrightarrow{E}\right|=\frac{k\left|q\right|}{r^2},k=\mathrm{8,99}·{10}^9\mathrm{N}·{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$$

apuntando hacia afuera de la carga si es positiva y hacia ella si es negativa. El signo de $q$ no entra en el largo: entra en hacia dónde apunta la flecha.

La segunda es el potencial eléctrico $V$: en cada punto, la energía potencial que tendría una carga de prueba puesta ahí, dividida por esa carga. Es un número en cada punto, sin dirección, se mide en voltios (1 V = 1 J/C), y para una carga puntual vale

$$V=\frac{kq}{r}$$

con el signo de $q$ adentro. Acá el signo no dice hacia dónde: es parte del número. Cerca de una carga positiva el potencial es positivo y grande; cerca de una negativa, negativo y grande; y lejos de las dos tiende a cero, porque así se eligió: $V$ vale cero en el infinito.

Con varias cargas vale la superposición: lo que hacen todas juntas es la suma de lo que hace cada una como si las otras no estuvieran. Y acá aparece la diferencia que da título a la nota. Los campos se suman como flechas: punta con cola, y dos flechas iguales y opuestas dan cero. Los potenciales se suman como números: con su signo, y dos números positivos nunca dan cero.

02 · Del mismo signo: las flechas se cancelan, los números no

Volvamos a las dos cargas: $q=1\mathrm{nC}$ en $x=0$ y $3q$ en $x=d=1\mathrm{m}$. Entre las dos, la flecha de $q$ apunta a la derecha (se aleja de ella) y la de $3q$ a la izquierda (se aleja de ella). Cerca de $q$ gana la primera, cerca de $3q$ la segunda, y en algún lugar del medio tienen el mismo largo y se anulan:

$$\frac{kq}{x^2}=\frac{k3q}{{(d-x)}^2}⟹x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}d=\mathrm{0,366}\mathrm{m}$$

Más cerca de la chica, como tenía que ser: para empatar con una carga tres veces mayor hay que estar más cerca de la menor. Ahora el potencial en ese mismo punto. Las dos cargas son positivas, así que cada una aporta un número positivo, y la suma es

$$V=\frac{kq}{\mathrm{0,366}}+\frac{k3q}{\mathrm{0,634}}=(4+2\sqrt{3})\frac{kq}{d}=\mathrm{67,1}\mathrm{V}$$

Sesenta y siete voltios en el punto donde la fuerza es cero. Y no hay otro punto mejor: el potencial de dos cargas positivas es la suma de dos números positivos, en cualquier lugar de la recta o del espacio, así que no se anula a ninguna distancia finita. Sólo tiende a cero lejos, en el infinito, que es donde se le puso el cero.

Mirá el widget con eso en la cabeza. Arranca con las dos cargas iguales, que es el caso en que todo parece coincidir: el campo se anula justo en el medio, y uno se queda con la idea de que «el punto del medio» es especial para las dos magnitudes. Poné 3 nC en la de la derecha, y después cambiale el signo. Con el punto de prueba mirá cómo se suman las dos flechas y los dos números.

03 · Con signos opuestos, al revés

Ahora $q$ en el origen y $-3q$ a un metro. El potencial es una suma de un número positivo y uno negativo, y eso sí puede dar cero: pasa donde los dos tienen el mismo tamaño, o sea donde la distancia a la grande es el triple que a la chica. Sobre la recta hay dos puntos así, uno entre las cargas y otro afuera, del lado de la chica:

$$\frac{1}{\left|x\right|}=\frac{3}{|x-d|}⟹x=\mathrm{0,25}\mathrm{m}\text{o}x=-\mathrm{0,5}\mathrm{m}$$

En ninguno de los dos se anula el campo. En $x=\mathrm{0,25}$ m las dos flechas apuntan a la derecha —la de $q$ porque se aleja de una positiva, la de $-3q$ porque va hacia una negativa—, así que se suman en lugar de restarse. En $x=-\mathrm{0,5}$ m apuntan en sentidos opuestos, pero con largos distintos: los mismos números que se cancelan en el potencial, divididos una vez más por la distancia, ya no son iguales.

¿Y dónde se anula el campo? Entre las cargas no puede: ahí las dos flechas van para el mismo lado. A la derecha de $-3q$ tampoco: la grande está más cerca y además es más grande, gana siempre. Queda afuera, del lado de la chica, donde estar lejos de la grande compensa que sea el triple: en $x=-\mathrm{1,366}$ m. Ahí el potencial vale $(2\sqrt{3}-4)kq/d$, que no es cero.

cargas	punto	E	V
$q,3q$	0,366 m	0	+67,1 V
$q,3q$	ninguno	—	nunca 0
$q,-3q$	0,25 m	+192 N/C	0
$q,-3q$	−0,5 m	−24,0 N/C	0
$q,-3q$	−1,366 m	0	−4,82 V

Con $q=1$ nC y $d=1$ m; el signo de $E$ es el de su componente sobre la recta, positivo hacia la derecha. En las cinco filas, donde una de las dos magnitudes vale cero la otra no. Los ceros del campo y los del potencial viven en lugares distintos de la recta, y no por los números elegidos: el campo cancela flechas y el potencial cancela números, y son dos cuentas distintas.

04 · El campo es la pendiente del potencial

Las dos magnitudes no son independientes, y la relación entre ellas explica qué es cada cero. Sobre la recta, el campo es la pendiente del potencial con el signo cambiado:

$$E_x=-\frac{dV}{dx}$$

El campo apunta hacia donde el potencial baja, y es más fuerte donde baja más rápido. Leída en el widget: donde la curva del potencial está plana, la del campo cruza el cero. Un cero del campo es un punto donde $V$ está plano, no donde vale cero. Con $q$ y $3q$, el potencial sube sin techo al acercarse a cada carga, así que entre ellas tiene un fondo: ese fondo, de 67,1 V, está exactamente en 0,366 m. Sobre la recta es un mínimo; si uno se aleja de la recta hacia los costados, el potencial baja, así que en el espacio el punto es una silla de montar, mínimo en una dirección y máximo en la otra.

Con $q$ y $-3q$ el fondo plano está en −1,366 m, a −4,82 V: el potencial viene de cero en el infinito, baja porque la negativa grande domina, toca fondo, y vuelve a subir hacia el $+\infty$ de la carga positiva, cruzando el cero en −0,5 m en el camino. El cruce y el fondo son dos puntos distintos de la misma curva.

05 · El cero de V se elige; el de E no

Hay una razón más profunda para que los ceros no coincidan, y es que el cero del potencial es una convención. Lo que tiene sentido físico son las diferencias de potencial: el trabajo por unidad de carga para ir de un punto a otro. Sumarle a $V$ una constante en todo el espacio no cambia ninguna diferencia, no cambia ninguna pendiente y, por lo tanto, no cambia el campo. Pero sí mueve los puntos donde $V$ vale cero.

Si para el par $q,3q$ uno decidiera que el cero de potencial está en el punto de 0,366 m en vez de en el infinito, el potencial ahí valdría cero y el campo seguiría siendo cero: los ceros coincidirían, por elección. Con la convención de siempre, que pone el cero en el infinito, no coinciden. Un cero de $E$ es un hecho; un cero de $V$ es un hecho más una convención. Pedirles que caigan en el mismo lugar es pedirle a una convención que coincida con un hecho.

06 · En el parcial: tramos y signos

«Encuentre los puntos sobre el eje donde $V=0$ y donde $\left|\overrightarrow{E}\right|=0$» es un ejercicio del práctico, y la forma segura de resolverlo es partir la recta en tres tramos: a la izquierda de las dos cargas, entre ellas, y a la derecha. En cada tramo los valores absolutos tienen signo conocido y las flechas tienen sentido conocido, y la ecuación se vuelve simple.

Para el potencial, en cada tramo la ecuación es lineal y tiene a lo sumo una solución, que hay que verificar que caiga en el tramo. Para el campo, antes de escribir nada, se mira en qué tramos las dos flechas apuntan en sentidos opuestos: los otros se descartan sin hacer cuentas. El atajo de igualar los módulos y elevar al cuadrado da una cuadrática con dos raíces, y una de ellas sobra.

Para $q$ y $3q$, igualar $1/x^2=3/{(d-x)}^2$ da $x=\mathrm{0,366}$ m y $x=-\mathrm{1,366}$ m. La segunda está a la izquierda de las dos cargas, donde las dos flechas apuntan hacia la izquierda y no pueden cancelarse: es falsa. Y es, exactamente, el cero del campo del otro problema, el de $q$ y $-3q$. El cuadrado no sabe de signos, así que resuelve los dos problemas a la vez.

Lo que queda como regla para revisar el resultado:

1. El campo de dos cargas del mismo signo se anula entre ellas, más cerca de la chica. Con signos opuestos se anula afuera, del lado de la chica; si son iguales y opuestas, en ningún punto a distancia finita.
2. El potencial de dos cargas del mismo signo no se anula nunca. Con signos opuestos se anula en dos puntos de la recta, los dos más cerca de la chica: uno entre ellas y otro afuera, de su lado. Si son iguales y opuestas, en el punto medio (y en todo el plano que lo atraviesa perpendicular a la recta).
3. Si un punto sale cero de las dos cosas a la vez, hay que desconfiar de la cuenta.

Lo que queda de esta nota es una pregunta para hacerse antes de cada cuenta: ¿esto se suma con flechas o con números? Fuerzas y campos, con flechas: hay que mirar sentidos, y pueden anularse aunque haya cargas grandes cerca. Potenciales y energías, con números: hay que mirar signos, y sólo se anulan si hay cargas de los dos signos. Los dos ejercicios del práctico que lo ponen a prueba están resueltos en dónde se anulan V y E y en las equipotenciales de una carga, y la teoría completa de cada magnitud, en el campo eléctrico y el potencial eléctrico.

Para leer más: Sears-Zemansky, vol. 2, cap. 23, secciones 23.4 (superficies equipotenciales) y 23.5 (gradiente de potencial).