Las equipotenciales de una carga

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Qué es lo que se busca. Una superficie equipotencial es el conjunto de puntos donde el potencial vale lo mismo. El potencial de una carga puntual sola, con el cero en el infinito, es

$$V(r)=\frac{kq}{r}$$

y depende sólo de la distancia $r$ a la carga, no de la dirección. Así que «todos los puntos con el mismo $V$» son «todos los puntos a la misma distancia»: las equipotenciales son esferas centradas en la carga, y cada una queda determinada por su radio. El ejercicio entero es la relación entre $V$ y $r$.

Qué esperar. La carga es positiva, así que el potencial es positivo en todas partes, y que exista una superficie de +30 V tiene sentido. El tamaño: $kq$ es $9·{10}^9\times \mathrm{1,5}·{10}^{-8}$, unos 135 V·m, y para bajar a 30 V hay que alejarse unos cuatro o cinco metros. Para el inciso (b), lo que decide es que $V$ no es lineal en $r$: un salto fijo de 1 V no puede corresponder a un salto fijo de distancia. Cerca de la carga el potencial cambia rápido —hace falta moverse poco para que baje un voltio— y lejos cambia despacio. La apuesta, antes de calcular: no están equiespaciadas, y se apiñan cerca de la carga.

03 · La resolución

(a) Se despeja $r$ de $V=kq/r$:

$$r=\frac{kq}{V}=\frac{(\mathrm{8,99}·{10}^9)(\mathrm{1,5}·{10}^{-8})}{30}\mathrm{m}$$ $$r=\frac{\mathrm{134,85}}{30}\mathrm{m}=\mathrm{4,50}\mathrm{m}$$

La equipotencial de 30 V es una esfera de 4,50 m de radio centrada en la carga.

(b) Con la misma fórmula, los radios de las vecinas de 29 V y de 31 V:

$$r_{29}=\frac{\mathrm{134,85}}{29}=\mathrm{4,65}\mathrm{m},r_{31}=\frac{\mathrm{134,85}}{31}=\mathrm{4,35}\mathrm{m}$$

De 30 V a 29 V hay que alejarse 15,5 cm; de 31 V a 30 V, sólo 14,5 cm. Ya en el primer par de pasos el espaciado cambia. Para verlo en general, la distancia entre la equipotencial de $V$ y la de $V+1$ voltio es

$$\mathrm{\Delta }r=\frac{kq}{V}-\frac{kq}{V+1}=\frac{kq}{V(V+1)}$$

que depende de $V$: cuanto más alto el potencial —o sea, cuanto más cerca de la carga— más juntas están. Tres pares, para ver el tamaño del efecto:

de … a …	radios	separación
10 V → 11 V	13,49 m → 12,26 m	1,23 m
30 V → 31 V	4,50 m → 4,35 m	14,5 cm
100 V → 101 V	1,35 m → 1,34 m	1,34 cm

La respuesta de (b) es no: las equipotenciales separadas por 1 V no están equiespaciadas en la dirección radial. La separación crece como $r^2$, y entre 1,35 m y 13,5 m de la carga —un factor 10 en distancia— se multiplica casi por cien.

04 · El chequeo

Unidades. $kq$ va en $\mathrm{N}·{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2\times \mathrm{C}=\mathrm{N}·{\mathrm{m}}^2/\mathrm{C}$, que es $\mathrm{V}·\mathrm{m}$ (un voltio es un joule por coulomb, y un joule es un newton por metro). Dividido por voltios, da metros.

Por otro camino. El campo eléctrico mide cuánto cambia el potencial por metro: si entre dos equipotenciales cercanas hay $\mathrm{\Delta }V$ y el campo vale $\left|E\right|$, la distancia entre ellas es aproximadamente

$$\mathrm{\Delta }r\approx \frac{\mathrm{\Delta }V}{\left|E\right|}$$

A 4,50 m de la carga el campo vale $kq/r^2=\mathrm{134,85}/{\mathrm{4,495}}^2=\mathrm{6,67}$ N/C, así que un voltio corresponde a $1/\mathrm{6,67}=\mathrm{0,150}$ m. Cae justo entre los 14,5 cm de adentro y los 15,5 cm de afuera, como tiene que caer: la cuenta no usa los radios de 29 y 31 V, usa el campo, y llega al mismo lugar.

Los extremos. Para $V$ cada vez más chico, $r=kq/V$ se va al infinito, que es donde se puso el cero del potencial; para $V$ cada vez más grande, el radio se achica hacia la carga, donde el potencial de una carga puntual no tiene techo. Y 30 V cae entre los dos, a unos metros, como se había estimado.

05 · Lo que se lleva

Un mapa de equipotenciales es un mapa del campo. Si se dibujan a saltos iguales de potencial, donde están juntas el campo es fuerte y donde están separadas es débil, igual que las curvas de nivel de un mapa topográfico: juntas, la ladera es empinada. Alrededor de una carga puntual el campo cae como $1/r^2$, así que la separación crece como $r^2$.

El caso en que sí están equiespaciadas. En un campo uniforme, como entre dos placas paralelas, $\left|E\right|$ es el mismo en todas partes y $\mathrm{\Delta }r=\mathrm{\Delta }V/\left|E\right|$ también: ahí las equipotenciales son planos paralelos a distancias iguales. Es el dibujo del inciso (b) del ejercicio 8, y conviene tenerlo al lado del de la carga puntual para no confundir los dos.

La trampa. «Difieren en una cantidad constante» invita a contestar que sí, que están equiespaciadas, porque lo constante es el salto de potencial. La pregunta es por la distancia, y la distancia sólo acompaña al potencial cuando el campo es uniforme.

Para tener a mano

1. Las equipotenciales de una carga puntual son esferas centradas en ella, de radio $r=kq/V$. Acá, 4,50 m para 30 V.
2. Entre la de $V$ y la de $V+1$ hay $kq/(V(V+1))$: no son equiespaciadas, se apiñan cerca de la carga.
3. El control: $\mathrm{\Delta }r\approx \mathrm{\Delta }V/\left|E\right|$. Equipotenciales juntas, campo fuerte.