El cilindro hueco

Es el problema de magnetismo del Parcial 2 del 7 de noviembre de 2024. No pide ninguna suma de flechas: es Ampère puro, tres veces, con el mismo camino y tres respuestas distintas según cuánta corriente quede adentro.

01 · El enunciado

El borde de la hoja escaneada corta la medida de $b$ después del 1: lo que se lee es 1,8 cm, y con ese valor están hechas las cuentas. Todo lo que no es un número, incluida la forma de la curva, no depende de él.

02 · Antes de hacer cuentas

Qué modelo. Un cilindro largo con la corriente a lo largo del eje: simetría cilíndrica. Es el caso de libro de la ley de Ampère. El camino es un círculo de radio $r$ centrado en el eje, el de la línea punteada de la figura. Sobre él $B$ es constante y tangente, la circulación es $B·2\pi r$, y en cualquier región

$$B(r)=\frac{{\mu }_0{I}_{\text{enc}}(r)}{2\pi r}$$

Los cuatro incisos son esa fórmula con tres $I_{\text{enc}}$ distintas.

El dato llave. «Distribuida uniformemente en su sección transversal»: cada milímetro cuadrado del anillo lleva la misma corriente. Entonces la corriente que encierra un círculo es la fracción del área del anillo que queda adentro de él, y el hueco no cuenta en ningún área.

El sentido. La corriente entra a la hoja (⊗). Con el pulgar de la mano derecha hacia adentro de la hoja, los dedos se curvan en sentido horario: así giran las líneas de campo.

Qué esperar. En el hueco, nada: no hay corriente adentro de ningún círculo. Afuera, el campo de un alambre de 100 A, que a 2 cm da ${\mu }_{0}I/(2\pi a)=1$ mT. Y en los 2 mm de material el campo tiene que subir de cero a ese milímetro de tesla.

03 · La resolución

(a) Las líneas de campo. Afuera, círculos centrados en el eje, recorridos en sentido horario, cada vez más separados al alejarse porque el campo baja como $1/r$. En el hueco no hay líneas: el campo es cero, como se ve en (b).

la corriente entra (⊗): las líneas giran en sentido horario

Para dibujarlo bien hay que mostrar dos cosas: el sentido de giro, y que las líneas se separan hacia afuera. Una línea de campo no empieza ni termina en ningún lado: es siempre un lazo cerrado.

(b) Adentro del hueco, $r<b$. Un círculo de radio $r<b$ está entero en el hueco. Ninguna corriente lo atraviesa: $I_{\text{enc}}=0$. Por simetría $B$ es igual en todo el círculo y tangente, así que

$$B·2\pi r=0\Rightarrow B=0$$

El paso de la simetría es el que hace falta escribir: sin él, circulación cero sólo diría que el campo se cancela en la vuelta, no que es cero en cada punto.

Afuera, $r>a$. El círculo encierra el anillo entero: $I_{\text{enc}}=I$, y

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}=\frac{2·{10}^{-5}\text{T·m}}{r}$$

en sentido horario. Es exactamente el campo de un alambre fino con 100 A en el eje: desde afuera, el caño no se distingue de un alambre. En la superficie, $r=a=2$ cm, vale 1 mT; a 5 cm, 0,4 mT.

(c) En el material, $b<r<a$. El círculo encierra la parte del anillo entre $b$ y $r$. Como la corriente está repartida pareja, la fracción encerrada es un cociente de áreas de anillos:

$$I_{\text{enc}}=I\frac{\pi (r^2-b^2)}{\pi (a^2-b^2)}$$

y con la fórmula de la sección 02,

$$B=\frac{{\mu }_{0}I(r^2-b^2)}{2\pi r(a^2-b^2)}$$

Con los números, $a^2-b^2=4-\mathrm{3,24}=\mathrm{0,76}$ cm². En el medio de la pared, $r=\mathrm{1,9}$ cm, el círculo encierra $(\mathrm{3,61}-\mathrm{3,24})/\mathrm{0,76}$ = 48,7 % de la corriente, 48,7 A, y

$$B(\mathrm{1,9}\text{cm})=\frac{4\pi ·{10}^{-7}·\mathrm{48,7}}{2\pi ·\mathrm{0,019}}\text{T}=\mathrm{0,512}\text{mT}$$

El sentido sigue siendo horario: la corriente encerrada, aunque sea una parte, entra a la hoja.

(d) El gráfico de $B(r)$. Las tres fórmulas, una detrás de otra:

cero hasta b; sube a 1 mT en a; cae como 1/r

Lo que el gráfico tiene que mostrar: cero en todo el hueco; una subida que arranca en cero en $b$, sin salto; el máximo justo en la superficie, $r=a$, donde las dos fórmulas dan 1 mT; y la caída como $1/r$, que a 4 cm, el doble de $a$, deja la mitad. Con una pared de 2 mm la subida es tan empinada que parece vertical. No es una recta: en la pared vale 0,260 mT en 1,85 cm, 0,512 en 1,9 y 0,759 en 1,95, pero se le parece mucho.

04 · El chequeo

Las unidades. ${\mu }_{0}I/r$ es (T·m/A)·A/m = T. En el material, el cociente $(r^2-b^2)/(a^2-b^2)$ no tiene unidades: es una fracción de corriente.

Los empalmes. La fórmula del material da 0 en $r=b$, igual que el hueco, y ${\mu }_{0}I/(2\pi a)$ en $r=a$, igual que la de afuera. Si un borde no empalma, hay un error en la fracción.

Un caso límite. Con $b=0$ el caño se llena, y la fórmula del material pasa a ser ${\mu }_{0}Ir/(2\pi a^2)$: la del cilindro macizo, lineal desde el eje.

El error que delata. Quien olvida el hueco y usa la fracción $r^2/a^2$ del macizo obtiene 0,95 mT en 1,9 cm en lugar de 0,512, y su curva no arranca en cero en $b$: el empalme de abajo falla.

¿Da razonable? 1 mT es unas veinte veces el campo de la Tierra, lo esperable para 100 A a un par de centímetros.

05 · Lo que se lleva

Un solo camino, tres corrientes encerradas. Con simetría cilíndrica la cuenta de Ampère es siempre la misma, $B={\mu }_0{I}_{\text{enc}}/(2\pi r)$. Todo el problema es contar la corriente que atraviesa el círculo en cada región.

Repartida pareja quiere decir cociente de áreas. Y las áreas son las del material: el hueco no lleva corriente, así que no está ni arriba ni abajo de la fracción.

Afuera, la distribución no importa. Un caño, un cilindro macizo o un alambre fino con la misma corriente dan el mismo campo afuera. Lo que cambia es sólo lo de adentro.

El macizo y el hueco, con los radios para mover y la curva que se dibuja mientras el camino entra, están en el widget de la nota de la ley de Ampère.

Qué evalúa este problema

1. Saber que con simetría cilíndrica el camino es un círculo coaxial, y escribir por qué $B$ es constante y tangente sobre él.
2. Ver que en el hueco no hay corriente encerrada y concluir $B=0$, con el sentido de giro bien puesto en el dibujo de afuera.
3. Contar la corriente encerrada en el material como cociente de áreas de anillos.
4. Juntar las tres regiones en un gráfico continuo, con el máximo en la superficie.