Dos cargas y un punto en el eje

Es el mismo cálculo de superposición de los ejercicios anteriores, pero sin números: el resultado es una fórmula. Eso cambia cómo se controla. Con números uno mira si da razonable; con letras, se mira qué pasa en los casos extremos, y la fórmula tiene que dar lo que ya se sabe.

01 · El enunciado

Las cargas q₁ y q₂ se ubican en el eje x a distancias a y b del origen, como se muestra en la figura.

(a) Encuentre el campo eléctrico E⃗ resultante en el punto p, que está sobre el eje y. (b) Evalúe el campo eléctrico en el punto p en el caso especial de que |q₁| = |q₂| y a = b.

02 · Antes de hacer cuentas

Los nombres que faltan. El enunciado no le pone nombre a la altura de p: llamémosla $y$ . Las distancias de cada carga a p salen de Pitágoras, y los ángulos de la figura, $α$ y $β$ , son los que forma cada $r$ con el eje x:

\begin{matrix} r_{1} = \sqrt{a^{2} + y^{2}}, \cos α = \frac{a}{r_{1}}, sen α = \frac{y}{r_{1}} \\ r_{2} = \sqrt{b^{2} + y^{2}}, \cos β = \frac{b}{r_{2}}, sen β = \frac{y}{r_{2}} \end{matrix}

Las cargas, como en la figura: $q_{1}$ positiva a la izquierda y la de la derecha negativa, de módulo $| q_{2} |$ .

Hacia dónde apunta cada flecha. El campo de $+ q_{1}$ se aleja de ella: en p sigue la recta de $r_{1}$ hacia afuera, arriba y a la derecha. El de $- q_{2}$ va hacia ella: baja por la recta de $r_{2}$ , abajo y a la derecha. Las dos componentes horizontales van hacia la derecha y se suman siempre. Las verticales compiten: una sube, la otra baja.

La llave. Cada flecha es su módulo por la dirección en la que apunta, y la dirección se escribe con el coseno y el seno del ángulo que la figura ya trae. El signo de cada componente no sale de la fórmula sino del dibujo de arriba.

03 · (a) El campo en p

Los dos aportes, cada uno como módulo por dirección:

\begin{matrix} {\vec{E}}_{1} = \frac{k q_{1}}{r_{1}^{2}} (\cos α, sen α) \\ {\vec{E}}_{2} = \frac{k | q_{2} |}{r_{2}^{2}} (\cos β, - sen β) \end{matrix}

Sumando componente a componente:

\begin{matrix} E_{x} = \frac{k q_{1} \cos α}{r_{1}^{2}} + \frac{k | q_{2} | \cos β}{r_{2}^{2}} \\ E_{y} = \frac{k q_{1} sen α}{r_{1}^{2}} - \frac{k | q_{2} | sen β}{r_{2}^{2}} \end{matrix}

Eso ya es una respuesta completa, en las letras de la figura. Si se prefiere sin ángulos, se reemplazan el coseno y el seno por sus cocientes: cada uno trae un $r$ más en el denominador, y $r^{2} \cdot r$ es la potencia $3 / 2$ de $a^{2} + y^{2}$ :

\begin{matrix} E_{x} = \frac{k q_{1} a}{{(a^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} + \frac{k | q_{2} | b}{{(b^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} \\ E_{y} = \frac{k q_{1} y}{{(a^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} - \frac{k | q_{2} | y}{{(b^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} \end{matrix}

$E_{x}$ es positiva siempre: las dos cargas empujan p hacia la derecha. $E_{y}$ puede tener cualquier signo, y se anula cuando $q_{1} / r_{1}^{3} = | q_{2} | / r_{2}^{3}$ : una carga más grande puede compensarse con estar más lejos.

04 · (b) El caso simétrico

Con $| q_{1} | = | q_{2} | = q$ y $a = b$ , la figura es simétrica respecto del eje y: $r_{1} = r_{2} = r$ y $α = β$ . Los dos aportes tienen el mismo módulo, la misma componente horizontal y componentes verticales opuestas:

\begin{matrix} E_{y} = \frac{k q sen α}{r^{2}} - \frac{k q sen α}{r^{2}} = 0 \\ E_{x} = \frac{2 k q \cos α}{r^{2}} = \frac{2 k q a}{{(a^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} \end{matrix}

El campo en p es horizontal, paralelo a la recta de las cargas, y apunta de la positiva hacia la negativa, sea cual sea la altura de p.

Con números, para ver que la fórmula funciona. Con $q = 1$ µC, $a = b = 0,3$ m e $y = 0,4$ m, el triángulo es el 3-4-5: $r = 0,5$ m y $\cos α = 0,6$ . Cada carga aporta $k q / r^{2} = 3,60 \cdot 10^{4}$ N/C, y

E = 2 \cdot 3,60 \cdot 10^{4} \cdot 0,6 = 4,32 \cdot 10^{4} N/C

que es lo mismo que da $2 k q a / {(a^{2} + y^{2})}^{3 / 2}$ con esos valores, y lo mismo que da sumar los dos vectores componente a componente.

05 · El chequeo

Unidades. $k q a / {(a^{2} + y^{2})}^{3 / 2}$ da N·m²/C² · C · m / m³ = N/C. Si se olvida el coseno y queda $2 k q / (a^{2} + y^{2})$ , las unidades siguen dando N/C: este control no lo agarra. Lo agarran los dos que siguen.

p bajando hasta el origen. Con $y \to 0$ , la fórmula da $2 k q a / a^{3} = 2 k q / a^{2}$ . Es lo que tiene que dar: en el punto medio entre las cargas, cada una aporta $k q / a^{2}$ y las dos hacia la negativa.

p muy arriba. Con $y ≫ a$ , el paréntesis es casi $y^{2}$ y

E \approx \frac{2 k q a}{y^{3}} = \frac{k (q \cdot 2 a)}{y^{3}}

El par es un dipolo de momento $q \cdot 2 a$ , y el punto está sobre su mediatriz. De lejos, el campo cae como $1 / y^{3}$ y no como $1 / y^{2}$ : las dos cargas se ven casi superpuestas y casi se cancelan. Lo que queda es justo el coseno, $a / r$ , que se achica. Sin él, el resultado caería como el de una carga sola de $2 q$ , que es lo que no puede pasar con una carga neta cero.

El sentido. De la positiva a la negativa, para cualquier $y$ : en el widget, con $a = b$ y las cargas iguales, la flecha azul se queda horizontal aunque se mueva p.

06 · Lo que se lleva

Cada aporte, como módulo por dirección. $k | q | / r^{2}$ por un par (coseno, seno), con los signos puestos mirando el dibujo. Es el procedimiento de cualquier ejercicio de campo en un punto fuera de la recta de las cargas.

Sumar módulos es el error. $k q_{1} / r_{1}^{2} + k | q_{2} | / r_{2}^{2}$ no es el módulo de nada: las flechas apuntan a lugares distintos.

La simetría decide qué se cancela. Con cargas iguales a la misma distancia, los dos aportes tienen el mismo módulo y son imagen espejo uno del otro: una componente se suma y la otra se cancela, y se sabe cuál antes de calcular. Pasa lo mismo, de a pares, en el cuadrado de cuatro cargas.

Con letras, los límites son el control. Una fórmula que en $y = 0$ no da el campo entre las cargas, o que de lejos no cae como un dipolo, tiene un error, aunque las unidades den bien.