Cuatro cargas y una roja

Es el primer problema del Parcial 2 del 12 de noviembre de 2020. Los cuatro incisos usan las mismas cuatro cargas desde cuatro lugares distintos: desde el centro, desde una carga de prueba en el centro, desde muy lejos y desde una carga a media distancia. El último es el que muerde, porque está justo donde la respuesta del tercero todavía no vale.

01 · El enunciado

Cuatro cargas en azul se encuentran situadas fijas como se muestran en la figura, siendo q = 2×10⁻⁶ C y d = 40 cm.

Determinar el campo eléctrico en el origen de coordenadas.
Explique qué le pasaría a una carga de magnitud ±q ubicada en el origen.
Dé una buena estimación del campo eléctrico E(r) para r ≫ d.
Calcular la fuerza F que sentirá la carga añadida en rojo, mostrada en la figura.

02 · Antes de hacer cuentas

Un espejo ahorra la mitad. Si se intercambian $x$ e $y$ —reflejar en la recta $y = x$ —, la $q$ de $(d, 0)$ cae sobre la de $(0, d)$ , las dos $- 2 q$ se intercambian igual, y la roja, en $(2 d, 2 d)$ , está sobre el espejo. La figura no cambia, así que el campo en el origen y la fuerza sobre la roja tampoco pueden cambiar al reflejarlos: las dos cosas tienen componente $x$ igual a la componente $y$ . Alcanza con calcular una.

En el origen, las dos de cada eje suman. Sobre el eje $x$ , la $q$ positiva de la derecha empuja hacia −x, y la $- 2 q$ de la izquierda tira hacia −x. No compiten: se suman. El campo eléctrico en el origen apunta hacia el tercer cuadrante, hacia las negativas.

De lejos, sólo queda la carga total. $q + q - 2 q - 2 q = - 2 q$ . Visto desde muy lejos, el conjunto es una carga puntual negativa en el origen, y su campo apunta hacia adentro.

La roja no se adivina. Las dos $q$ están más cerca de ella —a $\sqrt{5} d$ — y la empujan; las dos $- 2 q$ son el doble pero están más lejos —a $\sqrt{13} d$ — y la atraen. Ni el tamaño ni la distancia ganan claro: hay que hacer la cuenta. Y el inciso (c) tienta con un atajo —«el conjunto es $- 2 q$ , la atrae»— que acá da el sentido equivocado.

03 · La resolución

Todas las cuentas salen de un mismo número, el campo de una carga $q$ a distancia $d$ :

\frac{k q}{d^{2}} = \frac{8,99 \cdot 10^{9} \cdot 2 \cdot 10^{- 6}}{{(0,40)}^{2}} = 1,124 \cdot 10^{5} N / C

(a) Sobre el eje $x$ : la $q$ en $(d, 0)$ aporta $- k q / d^{2}$ (el campo de una positiva sale de ella), y la $- 2 q$ en $(- d, 0)$ aporta $- 2 k q / d^{2}$ (el de una negativa entra en ella). Las del eje $y$ no tienen componente $x$ en el origen. Por el espejo, la componente $y$ es la misma:

{\vec{E}}_{0} = - \frac{3 k q}{d^{2}} (\hat{i} + \hat{j}) = (- 3,37; - 3,37) \cdot 10^{5} N / C

El módulo es $3 \sqrt{2} k q / d^{2} = 4,77 \cdot 10^{5} N / C$ , a 45° por debajo del semieje −x: apunta al tercer cuadrante, entre las dos negativas.

(b) Una carga en el origen siente $\vec{F} = \pm q {\vec{E}}_{0}$ , de módulo $q | {\vec{E}}_{0} | = 2 \cdot 10^{- 6} \cdot 4,77 \cdot 10^{5} = 0,954 N$ . Si es $+ q$ , la fuerza tiene el sentido del campo: la carga se acelera hacia el tercer cuadrante, empujada por las $q$ y tirada por las $- 2 q$ . Si es $- q$ , la fuerza es la opuesta y se va hacia el primer cuadrante, hacia las positivas. En ningún caso se queda: el origen no es un punto de equilibrio, porque el campo ahí no es cero.

(c) A una distancia $r$ mucho mayor que $d$ , las cuatro cargas se ven en el mismo punto y su campo es el de una sola carga, la total, en el origen:

\vec{E} (\vec{r}) \approx \frac{k (- 2 q)}{r^{2}} \hat{r} = - \frac{3,60 \cdot 10^{4} N \cdot m^{2} / C}{r^{2}} \hat{r}

radial y hacia adentro, como el de una carga de −4 µC. La aproximación tiene un error de orden $d / r$ , y vale saber de dónde sale. Además de la carga total, la distribución tiene un momento dipolar $\vec{p} = \sum q_{i} {\vec{r}}_{i} = (3 q d; 3 q d)$ , que apunta justo sobre la diagonal de la roja. Su campo cae como $1 / r^{3}$ , y al sumarlo la componente radial queda

E_{r} \approx - \frac{2 k q}{r^{2}} (1 - 3 \sqrt{2} \frac{d}{r} \cos θ)

con $θ$ el ángulo entre $\vec{r}$ y la diagonal $(1, 1)$ . El factor $3 \sqrt{2} \approx 4,2$ dice cuánto es «mucho mayor» acá: sobre esa diagonal, a $r = 10 d$ , el campo de verdad es apenas el 59 % del estimado.

(d) La roja, $2 q$ en $(2 d, 2 d)$ . Desde cada carga azul, el vector que va hasta ella y su largo:

Carga	Hasta la roja	Distancia	Efecto
$q$ en $(d, 0)$	$(d, 2 d)$	$\sqrt{5} d$	repele
$q$ en $(0, d)$	$(2 d, d)$	$\sqrt{5} d$	repele
$- 2 q$ en $(- d, 0)$	$(3 d, 2 d)$	$\sqrt{13} d$	atrae
$- 2 q$ en $(0, - d)$	$(2 d, 3 d)$	$\sqrt{13} d$	atrae

Cada fuerza es $k (2 q) q_{i} \vec{s} / s^{3}$ , con $\vec{s}$ el vector de la tabla: la fórmula de Coulomb con el versor escrito como $\vec{s} / s$ , y el signo de $q_{i}$ adentro, que es el que decide si empuja o tira. Sumando las cuatro y sacando factor común $2 k q^{2} / d^{2}$ , la componente $x$ es

F_{x} = \frac{2 k q^{2}}{d^{2}} (\frac{1 + 2}{5^{3 / 2}} - \frac{2 (3 + 2)}{13^{3 / 2}}) = 0,4495 \cdot (0,2683 - 0,2133)

o sea $F_{x} = 0,0247 N$ , y por el espejo $F_{y} = F_{x}$ :

\vec{F} = (0,0247; 0,0247) N, | \vec{F} | = 0,0350 N

Sobre la diagonal y hacia afuera: las dos $q$ cercanas le ganan, por poco, a las dos $- 2 q$ lejanas. Si se hubiera usado la estimación de (c), la roja estaría a $r = 2 \sqrt{2} d = 1,13 m$ de una carga de −4 µC y saldría una atracción de $0,112 N$ : tres veces más grande, y al revés.

La curva azul es el campo radial de verdad dividido por el de la estimación: donde vale 1, la estimación es exacta; donde es negativa, el campo de verdad apunta hacia afuera y la estimación dice hacia adentro. La línea cortada es la corrección del dipolo, $1 - 3 \sqrt{2} (d / r) \cos θ$ . Sobre la diagonal de la roja, la fuerza cambia de sentido en $r = 3,92 d = 1,57 m$ : más cerca, la empujan; más lejos, la atraen. Sobre la diagonal $(- 1, 1)$ , perpendicular al dipolo, la estimación anda bien desde muy cerca: a $2,83 d$ ya erra por un 6 %.

04 · El chequeo

Unidades. $k q / d^{2}$ da (N·m²/C²)·C/m², o sea N/C; por una carga, N.

La simetría. En (a) y en (d) las dos componentes salieron iguales, como exigía el espejo. Si una cuenta da componentes distintas, hay un error de signo o de distancia en alguna de las cuatro cargas.

El límite. Lejos, por cualquier dirección, el cociente del widget tiende a 1: a $50 d$ vale 0,92 sobre la diagonal de la roja, 1,0003 sobre la perpendicular y 1,09 hacia las negativas. La estimación de (c) es la correcta; lo que cambia con la dirección es qué tan lejos hay que ir.

Por superposición directa. Sumando las cuatro contribuciones vectoriales sin usar el espejo, el campo en el origen da $(- 3,371; - 3,371) \cdot 10^{5}$ N/C y la fuerza sobre la roja $(0,02471; 0,02471)$ N.

05 · Lo que se lleva

Buscá el espejo antes de sumar. Una simetría de la figura dice qué componentes son iguales o se anulan, y convierte cuatro sumas vectoriales en dos. Además sirve de control al final.

«Lejos» es una comparación, no un lugar. La carga total gobierna el campo cuando $r$ le gana a $d$ con margen —acá, al $3 \sqrt{2} d$ del dipolo—. La roja está a $2,8 d$ : para ella el inciso (c) no vale, y el (d) se hace carga por carga. La idea está desarrollada en de lejos sólo queda lo que sobra.

El signo de cada carga va adentro de la fórmula. Escribir cada fuerza como $k Q q_{i} \vec{s} / s^{3}$ , con $Q$ la carga que siente la fuerza y $\vec{s}$ desde la fuente hasta ella, resuelve solo los sentidos: no hay que decidir a mano «atrae» o «repele».

06 · Qué evalúa este problema

Superponer campos de cargas puntuales por componentes, con el sentido correcto para cargas positivas y negativas.
Pasar de campo a fuerza, $\vec{F} = q \vec{E}$ , y leer qué hace una carga según su signo; reconocer que un campo no nulo no deja equilibrio.
Reconocer que de lejos una distribución con carga neta se ve como una carga puntual en el origen.
Calcular una fuerza de Coulomb vectorial con distancias en diagonal, y no confundir el caso cercano con el lejano.