El capacitor esférico

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Qué es. Un capacitor de dos cubiertas esféricas concéntricas: la de adentro, de radio $a=7$ cm, con $+Q$; la de afuera, de radio $b=14$ cm, con $-Q$. «Lleno de aire» quiere decir que se lo trata como vacío.

Qué modelo. La capacidad no es una fórmula que se busca: es $C=Q/V$, y se calcula poniendo una carga $Q$ y midiendo la tensión que produce. La simetría es esférica, así que el campo entre las cubiertas sale de la ley de Gauss con una esfera, y la tensión de integrarlo de una cubierta a la otra. La carga tiene que cancelarse al final: si no se cancela, hay un error.

Qué esperar. Una esfera de 7 cm sola, con la otra placa en el infinito, tiene $4\pi {\epsilon }_{0}a=\mathrm{7,78}$ pF. Traer la otra placa más cerca, a 14 cm, sólo puede aumentar la capacidad, porque la misma carga produce menos tensión. Así que la respuesta del (a) tiene que ser más de 7,78 pF, pero en la misma escala: picofaradios, no microfaradios.

El dato llave del (b). 4 mC es muchísima carga para un capacitor de picofaradios: la cuenta $V=Q/C$ va a dar del orden de ${10}^{-3}/{10}^{-11}$, cientos de millones de voltios. Vale la pena preguntarse, antes de escribir el número, si un capacitor de aire puede aguantarlo.

03 · La resolución

(a) Paso 1: el campo entre las cubiertas. Una esfera gaussiana de radio $r$, con $a<r<b$, encierra sólo la cubierta de adentro. Por la simetría el campo es radial y vale lo mismo en toda la esfera, así que el flujo es $E·4\pi r^2$, y Gauss dice

$$E·4\pi r^2=\frac{Q}{{\epsilon }_0}\Rightarrow E(r)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$$

hacia afuera: el campo de una carga puntual en el centro. La cubierta de afuera no aporta nada entre las dos, porque su carga queda afuera de la esfera gaussiana.

Paso 2: la tensión. La tensión entre las cubiertas es el campo integrado de una a la otra. Va de la de adentro, que tiene el potencial más alto, a la de afuera:

$$V={\int }_a^b\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}dr=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{b-a}{ab}$$

Paso 3: dividir. La carga se cancela, como tenía que pasar:

$$C=\frac{Q}{V}=\frac{4\pi {\epsilon }_{0}ab}{b-a}$$

Paso 4: los números. En metros, $ab/(b-a)=\mathrm{0,07}·\mathrm{0,14}/\mathrm{0,07}=\mathrm{0,14}$ m, y

$$C=4\pi ·\mathrm{8,85}·{10}^{-12}·\mathrm{0,14}=\mathrm{1,56}·{10}^{-11}\text{F}=\mathrm{15,6}\text{pF}$$

(b) La tensión para 4 mC. La capacidad ya está, y la definición se da vuelta:

$$V=\frac{Q}{C}=\frac{4·{10}^{-3}\text{C}}{\mathrm{1,56}·{10}^{-11}\text{F}}=\mathrm{2,57}·{10}^8\text{V}$$

Doscientos cincuenta y siete millones de voltios. Es la respuesta de la cuenta; la sección siguiente es para saber qué hacer con ella.

04 · El chequeo

Las unidades. ${\epsilon }_0$ está en C²/(N·m²), y por un largo da C²/(N·m), que es C/(J/C) = C/V: faradios. La forma $ab/(b-a)$ es un largo: m²/m.

Contra lo esperado. Con $b=2a$, la fórmula da $4\pi {\epsilon }_0·2a$: exactamente el doble de la esfera de 7 cm sola, 7,78 pF. Es más que la esfera sola, como se esperaba.

Los casos límite. Con $b\to \infty$, $ab/(b-a)\to a$, y queda la esfera sola. Con $b$ apenas mayor que $a$, la capacidad crece sin límite, como la de unas placas que se acercan: con $b-a=d$ chico, es ${\epsilon }_0(4\pi a^2)/d$, el de placas paralelas con el área de la esfera.

Con la otra constante. La tensión también sale sin pasar por $C$, con el paso 2 y $k=\mathrm{8,99}·{10}^9$: $kQ(1/a-1/b)=kQ/\mathrm{0,14}=\mathrm{2,57}·{10}^8$ V. Coinciden a tres cifras.

¿Da razonable? No. El campo es más intenso donde $r$ es más chico, en la superficie de la cubierta de adentro. Con 4 mC ahí habría

$$E(a)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{a}^2}=\mathrm{7,34}·{10}^9\text{V/m}$$

y el aire aguanta unos $3·{10}^6$ V/m antes de volverse conductor: es su rigidez dieléctrica. El campo pedido es unas 2450 veces ese límite. Mucho antes de llegar, salta una chispa entre las cubiertas y el capacitor se descarga. El máximo que de verdad guarda es la carga que pone $3·{10}^6$ V/m en la esfera de adentro:

$$Q_{\text{máx}}=4\pi {\epsilon }_0{a}^2·3·{10}^6=\mathrm{1,63}\mu \text{C}$$

a una tensión de $Q_{\text{máx}}/C=\mathrm{1,05}·{10}^5$ V. Los 4 mC son unas 2450 veces más. La energía que habría guardado con ellos, $Q^2/2C$, serían 514 kJ; con $Q_{\text{máx}}$ son 85,8 mJ.

05 · Lo que se lleva

La capacidad se calcula, no se recuerda. Poner $Q$, Gauss para el campo, integral para la tensión, dividir. Funciona igual para placas, esferas y cilindros, y la señal de que se hizo bien es que $Q$ se cancela.

Un número que da la cuenta no es un número que pase. La teoría del capacitor ideal no tiene techo: cualquier carga se puede guardar a cambio de suficiente tensión. El material sí lo tiene. Ante una tensión de cientos de millones de voltios, o un campo de miles de millones de V/m, la pregunta es si el aislante aguanta, y casi nunca aguanta.

El campo más intenso está en la esfera chica. En geometrías curvas el campo no es uniforme: crece hacia el conductor de menor radio, y es ahí donde empieza la ruptura. Por eso los pararrayos son puntas.

Las tres geometrías, la energía y la densidad de energía están en la nota del capacitor y la capacidad; la ruptura y los aislantes, en la de los dieléctricos.