Los dieléctricos

Si entre las placas de un capacitor cargado y desconectado se desliza una hoja de plástico, la tensión entre las placas baja. Nadie tocó la carga: no tenía por dónde irse. Entonces el plástico hizo que la misma carga produjera menos tensión, o sea que aumentó la capacidad. Esta nota explica cómo un material que no conduce puede hacer eso.

01 · Un aislante entre las placas

Un dieléctrico es un material aislante: vidrio, papel, plástico, aceite, el aire mismo. No tiene cargas libres de moverse por el material, como las de un metal, y por eso no deja pasar corriente. Pero sí tiene cargas: cada molécula es un montón de núcleos positivos y electrones negativos, que no pueden irse de la molécula pero sí correrse un poco dentro de ella.

El experimento que lo mide es el de arriba. Un capacitor con carga $Q$ fija tiene una tensión $V_0$ con vacío entre las placas; lleno de dieléctrico tiene una tensión menor $V$. El cociente es la constante dieléctrica del material:

$$\kappa =\frac{V_0}{V}\ge 1$$

El práctico la escribe $k$; acá va $\kappa$, para no confundirla con la constante de Coulomb. No tiene unidades, y depende sólo del material: vale 1 para el vacío, casi 1 para el aire, y bastante más para casi todo lo demás.

El aire está tan cerca de 1 que en los ejercicios se lo trata como vacío.

02 · La polarización: cargas en las caras

Puesta en un campo eléctrico, cada molécula se estira: sus cargas positivas se corren un poco en el sentido del campo y las negativas un poco al revés. Algunas moléculas, como la del agua, ya vienen con un lado positivo y uno negativo, y lo que hace el campo es girarlas para que se alineen. En los dos casos cada molécula queda como un dipolo apuntando con el campo. El material está polarizado.

Adentro del material, el extremo positivo de una molécula queda al lado del negativo de la siguiente, y en promedio se cancelan: el interior sigue neutro. Lo que no se cancela es lo de las caras. En la cara que mira a la placa positiva quedan asomando los extremos negativos de la última fila de moléculas; en la que mira a la negativa, los positivos. El dieléctrico queda con una capa de carga negativa de un lado y una positiva del otro.

Esas son las cargas ligadas, o inducidas: no se pueden sacar del material ni moverse por él, a diferencia de las cargas libres de las placas, que vinieron de la batería. Con una densidad ${\sigma }_i$ por unidad de área, cada una del signo opuesto a la placa que tiene enfrente.

03 · Por qué el campo de adentro se debilita

Entre las placas, sin dieléctrico, el campo es el de las cargas libres: $E_0=\sigma /{\epsilon }_0$, de la placa positiva a la negativa. Las cargas ligadas forman otro par de láminas, con los signos al revés: la negativa del lado de la placa positiva. Su campo, adentro del dieléctrico, apunta en contra, y el total es la diferencia:

$$E=\frac{\sigma -{\sigma }_i}{{\epsilon }_0}=\frac{E_0}{\kappa }$$

La segunda igualdad es la definición de $\kappa$ mirada desde el campo: con $Q$ fija la tensión baja por $\kappa$, y como $V=Ed$, el campo también. Despejando, cuánta carga ligada aparece:

$${\sigma }_i=\sigma (1-\frac{1}{\kappa })$$

Con $\kappa =3$ las cargas ligadas son dos tercios de las libres, y tapan dos tercios del campo. Nunca llegan a taparlo entero: si el campo de adentro fuera cero, no habría nada que siguiera polarizando el material. Un metal sí lo tapa entero, y es el caso límite: un conductor se comporta como un dieléctrico con $\kappa \to \infty$.

Las cargas ligadas sólo debilitan el campo adentro del material. En un hueco de aire entre el dieléctrico y una placa, el campo es el de las cargas libres, sin descuento. Eso importa en la sección 06.

04 · La capacidad se multiplica por κ

Con la carga fija, la tensión baja por $\kappa$; entonces $C=Q/V$ sube por $\kappa$. Para cualquier geometría, si el dieléctrico llena todo el espacio entre las placas:

$$C=\kappa C_0,\text{placas:}C=\frac{\kappa {\epsilon }_{0}A}{d}$$

con $C_0$ la capacidad en vacío. Todas las fórmulas de vacío siguen valiendo cambiando ${\epsilon }_0$ por $\epsilon =\kappa {\epsilon }_0$, la permitividad del material.

Que la capacidad crezca no depende de que la batería esté conectada; lo que cambia es qué otra cosa se mueve. Desconectada, la carga queda: la tensión y el campo bajan por $\kappa$, y la energía $Q^2/2C$ también baja por $\kappa$. La que falta es el trabajo que hizo el campo al tirar del dieléctrico hacia adentro: el campo del borde de las placas lo atrae. Conectada, la tensión queda: el campo entre las placas sigue siendo $V/d$, la batería manda $\kappa$ veces más carga para sostenerlo contra las ligadas, y la energía $C{V}^2/2$ sube por $\kappa$.

05 · La rigidez dieléctrica

Un aislante aguanta hasta cierto campo. Si el campo es tan intenso que arranca electrones de las moléculas, esos electrones aceleran, chocan, arrancan otros, y en una avalancha el aislante se vuelve conductor: salta una chispa. Es la ruptura del dieléctrico, y un rayo es la ruptura del aire. El campo máximo que aguanta un material es su rigidez dieléctrica. La del aire seco es de unos $3·{10}^6$ V/m; la de los plásticos de los capacitores comerciales, entre tres y veinte veces más.

El Ejercicio 6 es un capacitor esférico de aire, con radios de 7 y 14 cm y 15,6 pF, y pide la tensión para guardar 4 mC: da $\mathrm{2,57}·{10}^8$ V. Con esa carga, el campo en la superficie de la esfera de adentro, que es donde más campo hay, sería

$$E(a)=\frac{kQ}{a^2}=\mathrm{7,34}·{10}^9\text{V/m}$$

unas 2450 veces la rigidez del aire. El aire se rompe muchísimo antes: ese capacitor no llega a guardar más de 1,63 µC, a unos 105 kV. El número es absurdo a propósito, y el ejercicio entero está en el capacitor esférico.

Por eso un dieléctrico en un capacitor real rinde dos veces: multiplica la capacidad por $\kappa$ y deja poner las placas mucho más cerca sin que salte la chispa. Una lámina de policarbonato de 0,01 mm aguanta unos 300 V; un hueco de aire de ese espesor, 30.

06 · El dieléctrico que no llena

Si el dieléctrico ocupa sólo una parte del espacio entre las placas, $C=\kappa C_0$ ya no vale. Pero el capacitor se puede partir en dos capacitores que sí están llenos, uno de aire y uno de dieléctrico, y cómo se combinan depende de cómo está puesto el material.

Una capa paralela a las placas: en serie. Una lámina de espesor $fd$, con $f$ entre 0 y 1, apoyada sobre una placa o flotando en medio. Sus caras son paralelas a las placas, y el campo las cruza de frente, así que cada cara es una equipotencial. Se le podría pegar encima una hoja de metal finísima sin cambiar nada, y entonces quedan dos capacitores, uno detrás del otro, que comparten esa hoja: uno de aire con separación $(1-f)d$ y uno de dieléctrico con separación $fd$. Por los dos pasa la misma carga y las tensiones se suman: están en serie.

$$\frac{1}{C}=\frac{(1-f)d}{{\epsilon }_{0}A}+\frac{fd}{\kappa {\epsilon }_{0}A}\Rightarrow C=\frac{C_0}{1-f+f/\kappa }$$

Es el Ejercicio 7, resuelto de dos maneras en el dieléctrico que no llena. Dónde está la lámina no importa: sólo cuánto espesor ocupa.

Una columna que cubre parte del área: en paralelo. Un bloque que va de placa a placa, pero cubre sólo una fracción $f$ del área. Ahora las dos partes comparten las dos placas, así que tienen la misma tensión y las cargas se suman: es un capacitor de aire de área $(1-f)A$ al lado de uno de dieléctrico de área $fA$.

$$C=\frac{{\epsilon }_0(1-f)A}{d}+\frac{\kappa {\epsilon }_{0}fA}{d}=C_0(1-f+f\kappa )$$

Las dos fórmulas dan $C_0$ con $f=0$ y $\kappa C_0$ con $f=1$, como tiene que ser. En el medio no coinciden. Las dos usan la misma cantidad de material, una fracción $f$ del volumen. ¿Cuál rinde más?

Con $f=\mathrm{0,5}$ y $\kappa =3$, la capa da $\mathrm{1,5}{C}_0$ y la columna $2C_0$. La columna rinde más siempre, para cualquier fracción y cualquier material, salvo en los extremos, donde empatan. Con agua, $\kappa =\mathrm{80,4}$, la diferencia es enorme: la capa de media separación da $\mathrm{1,98}{C}_0$ y la columna $\mathrm{40,7}{C}_0$.

Por qué. En serie manda el más chico: la capa de aire que queda es un capacitor de $C_0/(1-f)$, y por más grande que sea $\kappa$ el total no lo supera. Con media separación de aire, el techo es $2C_0$: el de una lámina de metal, que lo único que hace es acortar la distancia. En paralelo, en cambio, el dieléctrico suma su parte entera, $f\kappa C_0$, sin que el aire le ponga techo.

Y lo que pasa con el campo. En la capa, con la batería conectada, el aire se queda con casi toda la tensión: con $\kappa =3$ y media separación, el 75 %, y el campo en el aire sube a 1,5 veces el que había sin dieléctrico. Meter una lámina que no llena aumenta el campo en el hueco de aire, y es ahí, no en el plástico, donde salta la chispa. En la columna, el campo es $V/d$ en las dos partes, y lo que cambia es la carga: sobre el dieléctrico, las placas tienen $\kappa$ veces más carga por unidad de área, la que hace falta para compensar a las ligadas.

07 · En los ejercicios

Con dieléctrico lleno, todo es la fórmula de vacío con $\kappa$ delante. Con dieléctrico parcial, se parte en capacitores llenos y se decide serie o paralelo mirando hacia dónde va el campo: si cruza primero un material y después el otro, serie; si cada material va de placa a placa, paralelo. Los errores que aparecen:

1. Usar κC₀ con un dieléctrico que no llena. Sólo vale si ocupa todo el espacio con campo.
2. Cambiar serie por paralelo. La capa paralela a las placas es serie aunque «las dos partes estén una al lado de la otra» en el dibujo: lo que cuenta es que el campo las atraviesa una después de la otra.
3. Dividir por κ lo que no se divide. El campo baja por $\kappa$ sólo con la carga fija; con la batería conectada el campo queda y la carga sube.
4. Olvidar el aire. En la capa, el campo en el aire es el de las cargas libres, sin descuento, y con la batería conectada es mayor que antes.
5. No mirar la rigidez. Una tensión que pone en el aire más de $3·{10}^6$ V/m no se puede alcanzar: el capacitor se descarga en una chispa.

Para tener a mano

1. Dieléctrico: un aislante que se polariza. Deja cargas ligadas en sus caras, opuestas a la placa que tiene enfrente: ${\sigma }_i=\sigma (1-1/\kappa )$.
2. Adentro, $E=E_0/\kappa$ con la carga fija; lleno, $C=\kappa C_0$, o ${\epsilon }_0$ cambiada por $\kappa {\epsilon }_0$.
3. Desconectada: $V$, $E$ y $U$ bajan por $\kappa$. Conectada: $Q$ y $U$ suben por $\kappa$, $E$ queda.
4. Rigidez: el campo máximo antes de la chispa. Aire, unos $3·{10}^6$ V/m.
5. Capa de espesor $fd$: serie, $C=C_0/(1-f+f/\kappa )$. Columna sobre $fA$: paralelo, $C=C_0(1-f+f\kappa )$.

Para leer más

Sears y Zemansky, volumen 2 (14.ª edición), capítulo 24, «Capacitancia y dieléctricos»: la sección 24.4 hace la constante y la rigidez dieléctrica, con las tablas 24.1 y 24.2 de donde salen los valores de esta nota, y la 24.5 el modelo molecular de la carga inducida. Serway y Jewett, volumen 2, capítulo 25, «Capacitancia y materiales dieléctricos»: secciones 25.5 y 25.7.