Las líneas de campo y las equipotenciales

El campo eléctrico es un vector en cada punto del espacio, y dibujar una flecha en cada punto no se puede: se dibujan unas cuantas, en una grilla, y el ojo tiene que adivinar el resto. Las líneas de campo y las equipotenciales son dos maneras de dibujar el campo entero de un trazo. Las dos llevan la misma información, y se cruzan siempre a 90°.

01 · Qué es una línea de campo

Una línea de campo es una curva que en cada uno de sus puntos es tangente al campo: va, en todo momento, hacia donde apunta $\vec{E}$ . Se la puede trazar a mano con una receta de pasos chicos. Se arranca en un punto, se mira hacia dónde apunta el campo ahí, se avanza un poquito en esa dirección, se vuelve a mirar el campo en el punto nuevo, y así. La flecha que se le dibuja encima marca el sentido de $\vec{E}$ . El práctico las llama líneas de fuerza: son lo mismo, porque la fuerza sobre una carga positiva apunta como el campo.

Una línea de campo no es una trayectoria. El campo fija la fuerza, y la fuerza fija la aceleración, no la velocidad: una carga que ya se mueve sigue de largo y se aparta de la línea en cuanto esta se curva. Sólo si la línea es recta y la carga arranca del reposo, el camino de la carga y la línea coinciden.

02 · Las cuatro reglas

Salen de las positivas y entran en las negativas. El campo de una carga positiva apunta hacia afuera, así que las líneas nacen ahí; el de una negativa apunta hacia adentro, y ahí mueren. Las que no encuentran dónde terminar se van al infinito, o vienen de él.

Cuántas, según la carga. La cantidad de líneas que sale de una carga, o que entra en ella, es proporcional a su valor. Si una carga tiene el doble que otra, se le dibujan el doble de líneas.

Donde están más juntas, el campo es más intenso. La densidad de líneas —cuántas atraviesan una superficie chica puesta de frente, por unidad de área— es proporcional a $| \vec{E} |$ . Con una carga puntual se ve por qué. De la carga salen $N$ líneas en todas direcciones. A distancia $r$ , todas atraviesan una esfera de área $4 π r^{2}$ , así que la densidad es

\frac{N}{4 π r^{2}} y el campo es E = \frac{k q}{r^{2}}

Las dos caen como $1 / r^{2}$ . Que coincidan no es casualidad: es la razón por la que el dibujo funciona, y es la misma idea que después se llama ley de Gauss.

No se cortan. En cada punto el campo tiene una sola dirección. Si dos líneas se cruzaran, en el cruce habría dos tangentes distintas, o sea dos campos distintos en el mismo lugar. La única excepción son los puntos donde $\vec{E} = 0$ , donde no hay dirección: ahí las líneas llegan y se desvían, como en el punto medio entre dos cargas iguales.

03 · Qué es una equipotencial

El campo es un vector en cada punto. El potencial eléctrico $V$ es un número en cada punto: la energía potencial que tendría ahí una carga, dividida por esa carga, igual que el campo es la fuerza dividida por la carga. Se mide en voltios, V = J/C. Para una carga puntual, tomando $V = 0$ muy lejos,

V = \frac{k q}{r}

y con varias cargas se suman los potenciales de cada una, como números, con su signo. Una equipotencial es el conjunto de puntos donde $V$ vale lo mismo. En el espacio es una superficie; en un dibujo plano, una curva. Para una carga puntual $V$ sólo depende de $r$ , así que las equipotenciales son esferas centradas en la carga.

Lo que una equipotencial garantiza es que moverse sobre ella no cuesta nada. El trabajo que hace el campo sobre una carga $q$ que va de $A$ a $B$ es

W_{A \to B} = q (V_{A} - V_{B})

y si $A$ y $B$ están en la misma equipotencial, da cero.

04 · Por qué se cruzan en ángulo recto

Sobre una equipotencial se da un paso chico $d \vec{s}$ . El trabajo del campo en ese paso es la fuerza por el desplazamiento, $q \vec{E} \cdot d \vec{s}$ , y por la sección anterior ese trabajo es cero, porque el paso empieza y termina con el mismo $V$ :

\vec{E} \cdot d \vec{s} = 0

Un producto escalar nulo entre dos vectores no nulos quiere decir que son perpendiculares. Y vale para cualquier paso sobre la superficie, en cualquier dirección: el campo es perpendicular a la equipotencial entera. Las líneas de campo, que siguen al campo, la atraviesan siempre a 90°.

El sentido también sale de ahí. Si el paso va a lo largo del campo, el trabajo del campo es positivo, así que $V_{A} - V_{B} > 0$ : el campo apunta hacia donde el potencial baja. Y cuánto baja: en un paso $Δ s$ a lo largo del campo, $Δ V = - E Δ s$ . Si se dibujan equipotenciales con el mismo salto $Δ V$ entre una y la siguiente, la distancia entre ellas es

Δ s \approx \frac{Δ V}{E}

Donde el campo es intenso quedan apretadas, y donde es débil, separadas. Es la misma información que la densidad de líneas, leída de costado.

Arranca con las líneas solas. Prendé las equipotenciales y mirá dónde cortan a las líneas; después llevá la sonda cerca de la carga y lejos, y compará cuán juntas quedan las curvas. Subí las líneas por carga: el dibujo se llena, pero el cociente entre la densidad cerca y lejos no cambia. En el dipolo, buscá la equipotencial de $V = 0$ y mirá cuánto vale ahí el campo.

05 · Los tres casos del práctico

Una carga puntual. Las líneas son rectas radiales, que salen de la carga si es positiva y entran si es negativa. Las equipotenciales son esferas centradas en ella, y como $r = k q / V$ , con el mismo salto $Δ V$ no quedan equiespaciadas: se separan hacia afuera. El Ejercicio 9 lo pide con números.

Un campo uniforme. Mismo módulo y misma dirección en toda una región, como entre dos placas paralelas cargadas. Las líneas son rectas paralelas, todas a la misma distancia, porque la densidad no cambia. Las equipotenciales son planos perpendiculares a ellas, también equiespaciados: con el eje $x$ a lo largo del campo, $V = V_{0} - E x$ .

Un dipolo. Dos cargas iguales y opuestas, $+ q$ y $- q$ , a una distancia fija. Todas las líneas que salen de la positiva terminan en la negativa, y se curvan para llegar. Cerca de cada carga las equipotenciales son casi esferas, deformadas hacia el lado de la otra. El plano mediador, el de los puntos a la misma distancia de las dos, es la equipotencial $V = 0$ , y el campo lo atraviesa perpendicular, paralelo al eje del dipolo, apuntando hacia el lado de la negativa.

Cómo se dibujan los tres sin hacer cuentas, sólo con las reglas, está en el Ejercicio 8 resuelto.

06 · Los errores típicos

Equipotenciales equiespaciadas alrededor de una carga. Con el mismo $Δ V$ , los radios van como $1 / V$ , y la distancia entre una y la siguiente crece hacia afuera. Sólo en el campo uniforme quedan parejas.

Líneas que se cortan o que terminan en el aire. Una línea sólo termina en una carga negativa o en el infinito. Si en el dibujo dos se cruzan fuera de un punto de campo nulo, el dibujo está mal.

Confundir $V = 0$ con $E = 0$ . Son cosas distintas. En el plano mediador del dipolo el potencial es cero y el campo no lo es. Entre dos cargas iguales pasa lo contrario: en el punto medio el campo es cero y el potencial no. El campo depende de cómo cambia $V$ al moverse, no de cuánto vale.

Leer una línea como el camino de una carga. Una carga soltada en un campo curvo no sigue la línea: la línea dice hacia dónde acelera, no hacia dónde va.

Para tener a mano

Línea de campo: tangente a $\vec{E}$ en cada punto. Sale de las positivas, entra en las negativas, la cantidad es proporcional a la carga, la densidad a $| \vec{E} |$ , y no se cortan salvo donde $\vec{E} = 0$ .
Equipotencial: superficie de $V$ constante. Moverse sobre ella no le cuesta trabajo al campo.
Se cruzan a 90°, porque $\vec{E} \cdot d \vec{s} = 0$ sobre la equipotencial. El campo apunta hacia donde $V$ baja.
Con el mismo $Δ V$ , la separación es $Δ s \approx Δ V / E$ : apretadas donde el campo es fuerte.
Puntual: radiales y esferas, no equiespaciadas. Uniforme: paralelas y planos equiespaciados. Dipolo: de $+ q$ a $- q$ , con el plano mediador en $V = 0$ .

Para leer más

Serway y Jewett, Física para ciencias e ingeniería, volumen 2, sección 22.5 para las líneas de campo, y secciones 24.2 y 24.4 para las equipotenciales. Sears y Zemansky, Física universitaria, volumen 2, sección 21.6 para las líneas y sección 23.4 para las superficies equipotenciales, con los dibujos de los tres casos.