El electrón que gira en un tesla

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Qué modelo. El campo magnético hace una fuerza $q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$, perpendicular a la velocidad: no cambia la rapidez y dobla la trayectoria. Con la velocidad perpendicular a un campo uniforme, el módulo de la fuerza es siempre $evB$ y la trayectoria es un círculo recorrido a rapidez constante. La fuerza magnética es la fuerza centrípeta.

El dato llave es «perpendicular»: el ángulo entre $\overrightarrow{v}$ y $\overrightarrow{B}$ es de 90° y la fuerza es la máxima. Si no lo fuera, habría que usar sólo la parte perpendicular de la velocidad, y la trayectoria sería una hélice.

Qué esperar. El electrón es livianísimo y la fuerza, para su tamaño, enorme: el círculo tiene que ser chiquito y la vuelta, rapidísima. La cuenta del radio es $mv/eB$, y con $m/e\approx 6·{10}^{-12}$ kg/C eso da del orden de micrones.

El enunciado no dice hacia dónde apunta el campo; la figura lo pone entrando a la hoja. Con el electrón moviéndose hacia la derecha, $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ apunta hacia arriba y la carga negativa da vuelta la fuerza: hacia abajo, hacia el centro. Gira en sentido horario.

03 · La resolución

El radio. La segunda ley en la dirección del centro, con la fuerza magnética como única fuerza y la aceleración centrípeta $v^2/r$:

$$evB=m_e\frac{v^2}{r}\Rightarrow r=\frac{m_{e}v}{eB}$$ $$r=\frac{\mathrm{9,11}·{10}^{-31}·{10}^6}{\mathrm{1,6}·{10}^{-19}·1}=\mathrm{5,69}·{10}^{-6}\text{m}=\mathrm{5,69}\text{µm}$$

En el radio va el valor absoluto de la carga: el signo decide hacia qué lado gira, no el tamaño del círculo.

La frecuencia angular. Es el ángulo barrido por segundo, la rapidez dividida por el radio. Reemplazando el radio de arriba, la velocidad se cancela:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{eB}{m_e}=\frac{\mathrm{1,6}·{10}^{-19}·1}{\mathrm{9,11}·{10}^{-31}}=\mathrm{1,76}·{10}^{11}\text{rad/s}$$

Para tenerlo en vueltas: la frecuencia es $f=\omega /2\pi =\mathrm{2,80}·{10}^{10}$ Hz, y el período, $T=2\pi /\omega =\mathrm{3,58}·{10}^{-11}$ s: una vuelta cada 35,8 picosegundos. El enunciado pide la frecuencia angular, que es $\omega$.

04 · El chequeo

Las unidades. El tesla es N/(A·m), o sea N·s/(C·m). Entonces $mv/eB$ es kg·(m/s) dividido por C·N·s/(C·m) = N·s/m, y kg·m/s dividido N·s/m da kg·m²/(N·s²) = m, porque N = kg·m/s². Y $eB/m$ es (N·s/m)/kg = 1/s.

Las dos cuentas entre sí. $v/r={10}^6/\mathrm{5,69}·{10}^{-6}$ da 1,76·10¹¹ rad/s, lo mismo que $eB/m$. Y la aceleración centrípeta, $v^2/r=\mathrm{1,76}·{10}^{17}$ m/s², coincide con fuerza sobre masa, $evB/m$.

Un caso límite. Al doble de velocidad el radio se duplica, 11,4 µm, y $\omega$ queda igual. Con el campo a cero, el radio se va al infinito: recta.

¿Da razonable? El peso no entra: la fuerza magnética, 1,6·10⁻¹³ N, es 1,79·10¹⁶ veces el peso del electrón. Y no hace falta relatividad: 10⁶ m/s es el 0,3 % de la velocidad de la luz.

05 · Lo que se lleva

El radio depende de la velocidad; la frecuencia, no. $r=mv/|q|B$ y $\omega =|q|B/m$. La segunda ni siquiera necesita el dato de la velocidad: si el enunciado pidiera sólo $\omega$, los 10⁶ m/s sobrarían.

Las dos salen de una sola ecuación: fuerza magnética igual a masa por aceleración centrípeta. No hay que memorizar dos fórmulas.

Por qué la frecuencia no depende de la velocidad, con una simulación de dos electrones que salen juntos a velocidades distintas, está en el campo magnético dobla pero no empuja.