Parcial 2020: el espectrómetro de masas

01 · El enunciado

Un espectrómetro de masas (ver figura a continuación) separa los iones de acuerdo a la relación m/q (masa/carga). La primera parte se conoce como selector de velocidad y se compone de un campo magnético ${\vec{B}}_{0}$ y un campo eléctrico ${\vec{E}}_{0}$ perpendiculares entre sí. Este selector permite «elegir» aquellas partículas que se mueven con la «misma» velocidad. En función de esto, determine:

(a) ¿Qué velocidad poseen aquellas partículas que pasan sin ser deflectadas? Estas partículas son las que ingresan por la rendija y se encuentran con un segundo campo magnético ${\vec{B}}_{0}$ .
(b) Al entrar al segundo campo magnético, definir cual debe ser la relación m/q para que la partícula impacte sobre el detector A a una distancia P respecto del orificio de ingreso.
(c) Como se modifica la trayectoria en función del signo de la carga de la partícula.

La figura del examen marca P sobre el detector y no tiene ninguna letra A: el «detector A» del inciso (b) es ese detector.

02 · Antes de hacer cuentas

Dos regiones, dos modelos. En el selector hay ${\vec{E}}_{0}$ y ${\vec{B}}_{0}$ a la vez, y la pregunta es de equilibrio: la fuerza de Lorentz total tiene que ser cero para que la partícula siga derecho hasta la rendija. Pasada la pared sólo queda ${\vec{B}}_{0}$ , perpendicular a la velocidad: movimiento circular uniforme.

El dato llave es que la fuerza magnética no hace trabajo: la rapidez con que la partícula sale del selector es la misma con la que recorre toda la segunda región. El selector fija $v$ , y entonces el radio, $m v / q B_{0}$ , sólo depende de $m / q$ .

La geometría. La partícula entra perpendicular a la pared. La fuerza en la entrada es perpendicular a la velocidad, o sea paralela a la pared: el centro del círculo queda sobre la pared misma. Media vuelta después, la partícula vuelve a la pared, del otro lado del centro. La distancia de la rendija al impacto es el diámetro, no el radio.

Qué esperar. Una respuesta en función de $E_{0}$ , $B_{0}$ y $P$ , en la que $m / q$ crezca con $P$ : más masa por unidad de carga, más difícil de doblar, más lejos pega.

03 · La resolución

(a) El selector. Para una carga positiva, con la figura: el campo eléctrico apunta hacia abajo, así que $q {\vec{E}}_{0}$ también. La velocidad va hacia la derecha y ${\vec{B}}_{0}$ entra a la hoja; con $x$ a la derecha, $y$ hacia arriba y $z$ saliendo, $\hat{ı} \times (- \hat{k}) = \hat{ȷ}$ : la fuerza magnética apunta hacia arriba. Opuestas, como tiene que ser en un selector. Se cancelan cuando

q E_{0} = q v B_{0} \Rightarrow v = \frac{E_{0}}{B_{0}}

La carga y la masa se van: pasan sin desviarse todas las partículas con $v = E_{0} / B_{0}$ , sean lo que sean. Las más rápidas sienten más fuerza magnética y doblan hacia arriba; las más lentas, hacia abajo; unas y otras chocan contra la pared fuera de la rendija.

(b) La segunda región. Sólo ${\vec{B}}_{0}$ , perpendicular a la velocidad: la fuerza magnética es la centrípeta.

q v B_{0} = \frac{m v^{2}}{r} \Rightarrow r = \frac{m v}{q B_{0}}

Como el centro está sobre la pared, el impacto queda a un diámetro de la rendija: $P = 2 r$ . Despejando y reemplazando la velocidad del selector:

P = \frac{2 m v}{q B_{0}} \Rightarrow \frac{m}{q} = \frac{B_{0} P}{2 v} = \frac{B_{0}^{2} P}{2 E_{0}}

(c) El signo. Para una carga positiva, la fuerza en la entrada de la segunda región es $q v B_{0} \hat{ȷ}$ , hacia arriba: gira en sentido antihorario y pega arriba de la rendija, en el detector. Es la que dibuja la figura.

Una carga negativa pasa el selector igual: las dos fuerzas cambian de sentido a la vez y se siguen cancelando para la misma $E_{0} / B_{0}$ . Pero en la segunda región la fuerza en la entrada apunta hacia abajo: gira en sentido horario y vuelve a la pared debajo de la rendija, a una distancia $2 m v / | q | B_{0}$ , donde la figura no tiene detector. Para ella vale la misma relación con el valor absoluto: $m / | q | = B_{0}^{2} P / 2 E_{0}$ , con $P$ medida hacia abajo.

Y una partícula neutra no siente ninguna de las dos fuerzas: atraviesa el selector a cualquier velocidad y sigue derecho en la segunda región, sin llegar nunca a la pared.

04 · El chequeo

Las unidades. $B_{0}^{2} P / E_{0}$ es T²·m/(V/m). Con T = V·s/m² queda V·s²/m², y como V = J/C = kg·m²/(s²·C), eso es kg/C: una masa sobre una carga.

Con números. El enunciado no da valores; para ver el tamaño, un protón con $E_{0} = 10^{4}$ V/m y $B_{0} = 0,1$ T. El selector deja pasar $10^{5}$ m/s, y el protón pega a $P = 2,09$ cm de la rendija. Un electrón a la misma velocidad pegaría a 11,4 µm, del otro lado: un espectrómetro así está hecho para iones.

La dependencia. $P$ es proporcional a $m / q$ : dos iones de la misma carga, uno con el doble de masa, pegan uno al doble de distancia que el otro. Eso es lo que hace útil al aparato para separar isótopos.

El caso límite. Con $B_{0} \to 0$ en la segunda región el radio se va a infinito y la partícula nunca vuelve: $P \to \infty$ , como pide la fórmula de $r$ . (En la expresión final $B_{0}$ aparece al cuadrado porque el mismo campo juega en las dos regiones.)

05 · Qué evalúa este problema

Tres habilidades encadenadas. Plantear un equilibrio con la fuerza de Lorentz y ver que la carga se cancela. Usar la fuerza magnética como centrípeta, sabiendo que la rapidez que entra es la que sigue. Y sacar el sentido de una fuerza con $q \vec{v} \times \vec{B}$ , con el signo de la carga adentro. La trampa geométrica es una sola: $P$ es el diámetro.

06 · Lo que se lleva

El selector fija la velocidad; la media vuelta la convierte en distancia. Con $v$ conocida, el radio es una medida directa de $m / q$ , y eso funciona porque el campo magnético no cambia la rapidez en el camino.

Una partícula que entra perpendicular a una pared vuelve a ella a un diámetro. El centro del círculo está sobre la pared.

El signo no importa en el selector y lo decide todo después. En una región con $\vec{E}$ y $\vec{B}$ cruzados el equilibrio vale para cualquier carga; en una con sólo $\vec{B}$ , el signo elige el lado.

El selector con números, y el signo de $\vec{E}$ en componentes, está en el Ejercicio 4. Por qué todo depende de que la fuerza magnética no haga trabajo, en el campo magnético dobla pero no empuja.