La fuerza sobre el electrón del Ejercicio 3 es diez mil billones de veces su peso, y en una vuelta no le cambia la rapidez ni en la última cifra. Todo lo que el parcial pregunta sobre cargas en un campo magnético —el círculo, el radio, el selector, el espectrómetro— sale de ese hecho.
Lo primero que uno espera de una fuerza grande es que acelere: que lo que estaba quieto se mueva, que lo que se movía vaya más rápido. Con la fuerza magnética esa intuición falla de una manera muy precisa. Puede ser enorme y no cambiar la rapidez de nada, nunca. Lo que cambia es la dirección. Este ensayo defiende que eso no es un detalle de la teoría sino la llave de todos los problemas de cargas sueltas en un campo magnético.
El campo magnético es una flecha en cada punto del espacio, que crean los imanes y las corrientes. Sobre una carga que pasa por ahí con velocidad hace una fuerza
El producto vectorial da un vector perpendicular a los dos factores: la fuerza es perpendicular a la velocidad, siempre, sea cual sea el campo. Cómo sale su sentido con la mano derecha, y su módulo , está en la fuerza magnética sobre una carga.
La velocidad es un vector; su módulo es la rapidez . Una fuerza puede cambiar las dos cosas: la rapidez (empujar o frenar) o la dirección (doblar). El trabajo de una fuerza a lo largo de un camino es la suma de : sólo cuenta la parte de la fuerza que va a lo largo del movimiento. Y por el teorema del trabajo y la energía, el trabajo total es lo que cambia la energía cinética , que depende sólo de la rapidez.
El Ejercicio 3 dispara un electrón a m/s perpendicular a un campo de 1 T. La fuerza magnética vale N. Parece poco hasta que se la compara con lo que pesa el electrón: es 1,79·10¹⁶ veces su peso. Le da una aceleración de m/s².
Si esa misma fuerza empujara a lo largo de la velocidad durante el tiempo que el electrón tarda en dar una vuelta, 35,8 ps, le sumaría m/s: saldría 7,28 veces más rápido, con 53 veces la energía. Pero la fuerza magnética no empuja a lo largo de la velocidad: va de costado. El trabajo en cada tramito es
porque un vector perpendicular a tiene producto escalar cero con . Cero en cada instante es cero en total, en cualquier trayectoria y con cualquier campo, uniforme o no. La energía cinética no cambia, y con ella la rapidez. El campo magnético dobla pero no empuja. Toda la fuerza, por enorme que sea, se gasta en cambiar la dirección.
Con el campo eléctrico es al revés: no sabe hacia dónde va la carga, y casi siempre tiene una parte a lo largo del movimiento. En el electrón entre placas el campo eléctrico le sumaba un 12 % de energía en un par de centímetros.
Si la rapidez no cambia, en un campo uniforme y perpendicular a la velocidad el módulo de la fuerza, , tampoco. Una fuerza de módulo fijo, siempre perpendicular a la velocidad, es la de un movimiento circular uniforme. Igualando con la fuerza centrípeta:
Y de ahí la consecuencia menos intuitiva. Una vuelta mide y se recorre a rapidez , así que tarda : la rapidez se cancela. Una carga el doble de rápida describe un círculo el doble de grande y lo completa en el mismo tiempo.
El widget no usa ninguna de esas fórmulas. Integra la segunda ley paso a paso, con pasos de 0,01 ps, sabiendo sólo la fuerza : dos electrones del Ejercicio 3 salen juntos del mismo punto, uno a m/s y otro al doble. Antes de mover el tiempo, apostá: el rápido, ¿vuelve al punto de partida antes, a la vez o después que el lento?
Vuelven a la vez, a los 35,77 ps, que es ; la integración da ese número para los dos, igual a la fórmula en doce cifras. El rápido recorre un círculo de 22,8 µm de diámetro, el doble que el lento, en el mismo tiempo. Y las rapideces no se mueven de y m/s en toda la vuelta y media: la integración, que sólo sabe la fuerza, las conserva hasta la decimocuarta cifra. A medio camino de una vuelta, a los 17,9 ps, los dos están en el punto opuesto de su círculo, alineados con el de partida.
Si el campo magnético no cambia la rapidez de nadie, no puede, él solo, separar partículas por rapidez: las dobla a todas. Lo que hace el selector de velocidad es ponerlo a competir con un campo eléctrico cruzado. La fuerza eléctrica es la misma para todas; la magnética, , crece con la rapidez. Si se los orienta para que tiren en sentidos opuestos, se cancelan para una sola rapidez:
Las más rápidas doblan hacia donde tira el campo magnético; las más lentas, hacia donde tira el eléctrico; y sólo las de pasan derecho por la rendija. La carga se cancela de la cuenta: el selector deja pasar la misma rapidez para electrones y para protones, porque cambiar el signo da vuelta las dos fuerzas a la vez. En el Ejercicio 4, un electrón de 750 eV pide un campo de 2,43·10⁵ V/m con 15 mT.
Del selector sale un haz con una rapidez conocida. Si entra a una región con sólo campo magnético, cada partícula describe media vuelta y choca contra la pared por la que entró, a una distancia igual al diámetro, . Como y son los mismos para todas, el lugar del impacto mide , y de forma lineal: el doble de masa, el doble de lejos.
Eso funciona por lo mismo de siempre. Si el campo magnético cambiara la rapidez en el camino, el radio cambiaría a mitad de la media vuelta y el impacto dependería de los detalles del recorrido. No la cambia: el radio es uno solo, fijado en la rendija, y la distancia es una cuenta de una línea. Es el Problema 2 del parcial de 2020, que pide justamente .
Hay un caso que parece contradecir todo esto, y vale la pena mirarlo. En el parcial de 2025, una varilla con corriente apoyada sobre dos rieles en un campo magnético sale empujada por y llega al final a 1,31 m/s. Algo le dio energía cinética.
No fue el campo magnético. Sobre cada carga que circula por la varilla la fuerza magnética sigue siendo perpendicular a su velocidad total, que ahora tiene dos partes: la que la lleva a lo largo del cable y la que la arrastra con la varilla. La parte de la fuerza que empuja la varilla hace trabajo positivo; otra parte, a lo largo del cable, frena la corriente y hace exactamente el mismo trabajo negativo. Lo que la varilla gana lo pone la batería, que tiene que trabajar contra ese freno para sostener la corriente. El campo magnético reparte la energía, no la pone.
Lo que queda es una pregunta para hacerse antes de cada problema de cargas en un campo magnético: ¿qué tiene que pasar si la rapidez no cambia? Con eso sale que la trayectoria es un círculo (o una recta, si va a lo largo de ), que su radio es con la rapidez de entrada, que la vuelta tarda lo mismo a cualquier rapidez, que para elegir rapidez hace falta un campo eléctrico, y que la rapidez de salida es la de entrada sin hacer una sola cuenta. La teoría completa, con la regla de la mano derecha y la hélice, está en la fuerza magnética sobre una carga; el radio y la frecuencia con números, en el electrón que gira en un tesla.
Para leer más: Sears-Zemansky, vol. 2 (14.ª ed.), cap. 27, sección 27.4 (el campo no hace trabajo y el movimiento circular) y 27.5 (selector de velocidad y espectrómetro de masas). Serway-Jewett, vol. 2, cap. 28, secciones 28.2 y 28.3.