El selector de velocidad

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Qué modelo. Sobre el electrón actúan dos fuerzas: la eléctrica, $q\overrightarrow{E}$, que no depende de la velocidad, y la magnética, $q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$, que crece con ella. Juntas son la fuerza de Lorentz. «No se desvíe» quiere decir que la suma es cero: el electrón sigue en línea recta a velocidad constante.

Qué falta. La cuenta de equilibrio pide la velocidad, y el enunciado da una energía: 750 eV. Un electronvoltio es la energía que gana una carga $e$ al cruzar un voltio, $\mathrm{1,6}·{10}^{-19}$ J. Es energía cinética, así que de ahí sale la rapidez.

El dibujo. Con $x$ hacia la derecha y $z$ hacia arriba, $y$ entra a la hoja (para que $\hat{ı}\times \hat{ȷ}$ dé $\hat{k}$). Entonces $B\hat{ȷ}$ es un campo que entra a la hoja, y el campo eléctrico es vertical. El signo de $E$ es parte de la respuesta.

03 · La resolución

Paso 1: la rapidez. La energía en joules es $K=750·\mathrm{1,6}·{10}^{-19}=\mathrm{1,2}·{10}^{-16}$ J, y de $K=\frac{1}{2}{m}_e{v}^2$:

$$v=\sqrt{\frac{2K}{m_e}}=\sqrt{\frac{2·\mathrm{1,2}·{10}^{-16}}{\mathrm{9,11}·{10}^{-31}}}=\mathrm{1,62}·{10}^7\text{m/s}$$

Paso 2: la fuerza magnética. Con $\overrightarrow{v}=v\hat{ı}$ y $q=-e$:

$${\overrightarrow{F}}_B=-evB(\hat{ı}\times \hat{ȷ})=-evB\hat{k}$$

hacia abajo, de módulo $evB=\mathrm{3,90}·{10}^{-14}$ N.

Paso 3: la eléctrica tiene que ser la opuesta. «No se desvía» es $q\overrightarrow{E}+q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}=0$. La $q$ es factor común y se va:

$$\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}=-vB\hat{k}$$ $$E=-\mathrm{1,62}·{10}^7·\mathrm{0,015}=-\mathrm{2,43}·{10}^5\text{V/m}$$

El campo eléctrico vale 2,43·10⁵ V/m y apunta hacia $-\hat{k}$, hacia abajo en la figura. Sobre el electrón, que es negativo, la fuerza eléctrica va al revés del campo: hacia arriba, contra la magnética, como tenía que ser.

04 · El chequeo

Las unidades. $vB$ es (m/s)·T, y un tesla es N·s/(C·m): queda N/C, que es lo mismo que V/m.

El signo, por otro lado. Con un protón en el mismo lugar, la fuerza magnética apuntaría hacia arriba y la eléctrica tendría que apuntar hacia abajo: con carga positiva, el campo hacia abajo. El mismo $E=-\mathrm{2,43}·{10}^5$ V/m. El signo de $E$ no depende del signo de la carga, porque $\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ no tiene $q$.

¿Hace falta relatividad? $\mathrm{1,62}·{10}^7$ m/s es el 5,4 % de la velocidad de la luz. La corrección relativista a la energía cinética es del orden de $\frac{3}{4}{(v/c)}^2$, un 0,2 %: no cambia la tercera cifra de $v$.

Qué pasa sin el campo eléctrico. El electrón describiría un círculo de radio $mv/eB=\mathrm{6,16}$ mm: en un centímetro de selector ya se habría desviado del todo. El campo eléctrico no es un detalle.

05 · Lo que se lleva

El selector elige velocidad, no energía. La condición es $v=E/B$, sin masa ni carga. Un protón de los mismos 750 eV va a $\mathrm{3,79}·{10}^5$ m/s, porque pesa 1833 veces más, y para pasar derecho pediría sólo 5,69·10³ V/m. Con los 2,43·10⁵ V/m de este selector, el protón se desvía.

El vector sale de una fórmula de una línea. $\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ da módulo, dirección y signo de una vez, con los productos de los versores. Es más seguro que razonar las dos fuerzas por separado con la mano derecha y acordarse de dar vuelta las dos para el electrón.

El mismo selector, seguido de una región con sólo campo magnético, es el espectrómetro del parcial de 2020. Por qué el campo magnético solo no podría elegir velocidad está en el campo magnético dobla pero no empuja.