El potencial de tres cargas en A y B

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

La geometría. Las tres cargas son tres esquinas de un rectángulo de 0,30 m por 0,40 m, y $A$ es la cuarta. El triángulo de las cargas es el clásico 3-4-5: catetos de 0,30 y 0,40 m, hipotenusa de 0,50 m. Así que las distancias de $A$ a las cargas son lados del rectángulo o su diagonal, y no hace falta ninguna raíz: 0,50 m a $q_1$, 0,40 m a $q_2$, 0,30 m a $q_3$.

El dato llave. $B$ es el centro del rectángulo: el punto medio de sus dos diagonales. Una de esas diagonales es la hipotenusa, que va de $q_2$ a $q_3$, y el punto medio de la hipotenusa está a la misma distancia de los tres vértices. $B$ está a 0,25 m de las tres cargas.

Qué modelo. El potencial de cada carga es $kq/r$, con cero en el infinito, y con varias cargas vale la superposición: se suman los tres números, cada uno con el signo de su carga. Sin componentes y sin ángulos. Para el trabajo, el puente entre el potencial y la energía: el campo hace sobre $q_0$ un trabajo igual a lo que baja su energía potencial.

Qué esperar. Hay más carga positiva que negativa, +7 µC contra −2 µC, así que los dos potenciales van a salir positivos. Y $B$ está más cerca de todas las cargas que $A$: más cerca de las positivas, que es lo que sube el potencial, pero también de la negativa. La negativa es la más chica, así que $B$ debería quedar más alto que $A$. Si es así, una carga positiva que va de $A$ a $B$ está subiendo, y el campo, que la empuja hacia abajo, hace trabajo negativo. La cuenta tiene que confirmar las dos cosas.

03 · La resolución

(a) El esquema. Las cargas en tres esquinas, $A$ en la cuarta y $B$ en el centro, con las distancias que van a entrar en las cuentas.

(b) El potencial en A y en B. Con $k=\mathrm{8,99}·{10}^9$ N·m²/C², cada microcoulomb a un metro pone 8 990 V. En $A$:

$$\begin{array}{cc}{V}_A& =k(\frac{3\mu \text{C}}{\mathrm{0,50}\text{m}}+\frac{-2\mu \text{C}}{\mathrm{0,40}\text{m}}+\frac{4\mu \text{C}}{\mathrm{0,30}\text{m}})\\ & =\mathrm{53,94}-\mathrm{44,95}+\mathrm{119,87}=\mathrm{128,86}\text{kV}\end{array}$$

En $B$ las tres distancias son 0,25 m, y la suma se puede hacer con las cargas antes de dividir:

$$\begin{array}{cc}{V}_B& =\frac{k(q_1+q_2+q_3)}{\mathrm{0,25}\text{m}}=\frac{k·5\mu \text{C}}{\mathrm{0,25}\text{m}}\\ & =\mathrm{107,88}-\mathrm{71,92}+\mathrm{143,84}=\mathrm{179,80}\text{kV}\end{array}$$

Redondeado: $V_A=\mathrm{1,29}·{10}^5$ V y $V_B=\mathrm{1,80}·{10}^5$ V. Lo que cada carga aporta en cada punto, en kV:

carga	en A	en B
q₁ = +3 µC	+53,94	+107,88
q₂ = −2 µC	−44,95	−71,92
q₃ = +4 µC	+119,87	+143,84
total	128,86	179,80

La tabla muestra por qué sube: al pasar de $A$ a $B$, la negativa resta 27 kV más, pero las dos positivas suman 78 kV más entre las dos.

(c) La diferencia de potencial.

$$V_B-V_A=\mathrm{179,80}-\mathrm{128,86}=\mathrm{50,94}\text{kV}=\mathrm{5,09}·{10}^4\text{V}$$

Positiva: $B$ está más alto que $A$, como se esperaba. Y este número, a diferencia de $V_A$ y $V_B$ sueltos, no depende de dónde se puso el cero.

(d) El trabajo del campo, con su signo. El campo hace sobre la carga un trabajo igual a lo que baja su energía potencial, y la energía potencial de $q_0$ en un punto es $q_{0}V$. Entonces

$$\begin{array}{cc}{W}_{\text{campo}}& =-\Delta U=-q_0(V_B-V_A)\\ & =-(1·{10}^{-9}\text{C})(\mathrm{5,09}·{10}^4\text{V})\\ & =-\mathrm{5,09}·{10}^{-5}\text{J}=-\mathrm{50,9}\mu \text{J}\end{array}$$

El signo menos dice algo físico, y conviene decirlo en palabras. La carga de prueba es positiva y va de un lugar de potencial bajo a uno alto: sube. El campo empuja a las cargas positivas hacia donde el potencial baja, así que en el balance del recorrido empuja en contra, igual que el peso cuando se sube una piedra. Para que $q_0$ llegue a $B$ sin ganar velocidad, alguien tiene que empujarla y hacer +50,9 µJ, que quedan guardados como energía potencial.

(e) ¿Depende del camino? No. La fuerza de Coulomb de cada carga apunta a lo largo de la recta que la une con $q_0$ y depende sólo de la distancia entre las dos. Con una fuerza así, cualquier tramo del recorrido que no cambie esa distancia —un arco de circunferencia alrededor de la carga— tiene trabajo cero, porque la fuerza es perpendicular al movimiento. Lo único que cuenta es cuánto se acercó o se alejó, y eso depende sólo de las distancias al principio y al final. Por superposición, lo mismo vale para la suma de las tres fuerzas.

Eso es lo que significa que el campo electrostático sea conservativo, y es la razón por la que existe el potencial: si el trabajo dependiera del camino, no habría un número $V$ en cada punto con el que calcularlo. La consecuencia que conviene tener a mano: en un camino cerrado, que sale de $A$ y vuelve a $A$, el trabajo del campo es cero.

En el widget de abajo el trabajo se calcula del otro modo, sin usar el potencial: sumando la fuerza por cada tramito del recorrido que dibujes. Llevá la carga de A a B por un camino, después por otro bien distinto, y compará.

Probá un camino que pase pegado a $q_2$, la negativa, o uno que dé la vuelta por afuera de $q_3$. En el medio del recorrido el contador se va lejos —cerca de una carga la fuerza es enorme—, pero lo que marca en cada momento depende sólo de dónde está la carga, no de por dónde vino: al llegar a $B$ vuelve siempre a −50,9 µJ. Y si en lugar de ir a $B$ volvés a $A$, el contador vuelve a cero.

04 · El chequeo

Las unidades. $kq/r$ es N·m²/C² por C sobre m: N·m/C, o sea J/C, voltios. Una carga por un voltaje es C·V = J. Los microcoulombs a decímetros dan cientos de kilovoltios, y un nanocoulomb por decenas de kilovoltios da decenas de microjoules: los órdenes cierran.

El signo, mirando la fuerza. El campo en $A$, sumando los tres vectores, es $(\mathrm{4,64}·{10}^5,-\mathrm{2,61}·{10}^4)$ N/C: casi todo hacia la derecha, empujado por $q_3$, que está a 0,30 m a la izquierda. El desplazamiento a $B$ es $(-\mathrm{0,15},-\mathrm{0,20})$ m, hacia la izquierda y hacia abajo. Al arrancar, la fuerza y el movimiento forman más de 90°: el campo frena. Es una cuenta independiente del potencial, y da el mismo signo.

El signo de la carga de prueba. Si $q_0$ fuera −1 nC, la diferencia de potencial sería la misma pero el trabajo cambiaría de signo, +50,9 µJ: una carga negativa «cae» hacia donde el potencial sube.

Un caso límite. Lejos de las tres cargas, el potencial se vuelve el de una sola carga con la suma, +5 µC: es la idea de de lejos, sólo queda lo que sobra. $B$ no está lejos, pero da justo eso, $k·5\mu \text{C}/\mathrm{0,25}\text{m}$, por otra razón: está a la misma distancia de las tres. Para el potencial, estar a la misma distancia de todas las cargas es tan bueno como estar lejos. Es el mismo argumento con el que sale, sin integrar, el potencial sobre el eje de un anillo.

05 · Lo que se lleva

Mirar la geometría antes de sumar. Un triángulo 3-4-5 y un punto que equidista de los tres vértices convierten seis Pitágoras en ninguno. La primera pregunta, con varias cargas, es a qué distancia está cada una.

El signo del trabajo se decide con la altura. $W_{\text{campo}}=-q_0\Delta V$: una carga positiva que sube de potencial recibe trabajo negativo del campo, como una piedra que se levanta. Dicho en palabras antes de escribirlo, el signo no se pierde.

«No depende del camino» se justifica con el tipo de fuerza. Central y función sólo de la distancia: eso la hace conservativa, y por eso el trabajo es la diferencia de una función del lugar, el potencial. El trabajo del agente externo, y la energía de todo el conjunto, están en la nota de la energía potencial eléctrica.