Tres cargas sobre Q/2

Es el problema 3 del Parcial 2 del 14 de noviembre de 2017, y valía 40 de los 100 puntos. No trae números: $Q$ y $d$ quedan como letras, y la respuesta es un coeficiente por $k{Q}^2/d^2$ para la fuerza y por $kQ/d$ para el potencial. Pide las dos cosas sobre el mismo punto, una detrás de la otra, y la gracia está en ver que se calculan distinto.

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Los sentidos ya están decididos. Las cuatro cargas son positivas, así que las tres fuerzas sobre $Q/2$ son de repulsión: cada una apunta alejándose de la carga que la hace, sobre la recta que las une. Las tres apuntan hacia el tercer cuadrante —hacia afuera del cuadrado—, y la suma también.

El espejo. La figura es simétrica respecto de la diagonal $y=x$: la carga de $(d,0)$ y la de $(0,d)$ se intercambian, la de la esquina queda donde está. Entonces $F_x=F_y$, y la fuerza apunta sobre la diagonal, a 225°.

Las tres no pesan lo mismo. Las dos de los lados están a $d$; la de la esquina, a $\sqrt{2}d$. Coulomb va con el cuadrado de la distancia, así que la de la esquina empuja con la mitad de fuerza que cada una de las otras. Se espera un resultado entre la suma de las dos cercanas —$\sqrt{2}/2\approx \mathrm{0,71}$ en unidades de $k{Q}^2/d^2$— y la suma de los tres módulos, 1,25.

El potencial no tiene sentido que decidir. Es un número por carga, positivo porque las tres son positivas, y se suman tal cual. Lo único que importa de la geometría son las tres distancias.

03 · La resolución

La fuerza. Por la ley de Coulomb, cada carga de los lados empuja a $Q/2$ con

$$F_{\mathrm{lado}}=\frac{kQ(Q/2)}{d^2}=\frac{1}{2}\frac{k{Q}^2}{d^2}$$

la de $(d,0)$ hacia −x y la de $(0,d)$ hacia −y. La de la esquina está a una distancia al cuadrado de $d^2+d^2=2d^2$:

$$F_{\mathrm{esq}}=\frac{kQ(Q/2)}{2d^2}=\frac{1}{4}\frac{k{Q}^2}{d^2}$$

sobre la diagonal, hacia $(-1,-1)/\sqrt{2}$. Proyectada, aporta $-F_{\mathrm{esq}}/\sqrt{2}$ a cada componente. Sumando por componentes:

$$F_x=F_y=-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4\sqrt{2}})\frac{k{Q}^2}{d^2}=-\frac{4+\sqrt{2}}{8}\frac{k{Q}^2}{d^2}$$

El vector, como lo pide el enunciado:

$$\overrightarrow{F}=-\mathrm{0,677}\frac{k{Q}^2}{d^2}(\hat{i}+\hat{j})$$

de módulo $\sqrt{2}·\mathrm{0,677}=\frac{2\sqrt{2}+1}{4}=\mathrm{0,957}$ en unidades de $k{Q}^2/d^2$, a 225° del semieje +x: sobre la diagonal, alejándose del cuadrado.

El potencial. El potencial de una carga puntual es $kq/r$, sin vector, y el de varias es la suma. Sin $Q/2$ —el potencial de un lugar no depende de qué carga se ponga ahí—:

$$V_0=\frac{kQ}{d}+\frac{kQ}{d}+\frac{kQ}{\sqrt{2}d}=(2+\frac{\sqrt{2}}{2})\frac{kQ}{d}=\mathrm{2,71}\frac{kQ}{d}$$

Acá la carga de la esquina pesa más que en la fuerza: el potencial cae como $1/r$, no como $1/r^2$, así que a $\sqrt{2}d$ aporta el 71 % de lo que aporta cada una de los lados, no el 50 %.

04 · El chequeo

Unidades. $k{Q}^2/d^2$ es (N·m²/C²)·C²/m², newtons. $kQ/d$ es (N·m²/C²)·C/m = N·m/C = J/C, voltios.

Dentro de lo esperado. 0,957 está entre el 0,71 de las dos cargas cercanas solas y el 1,25 de sumar los módulos, como se anticipó. Si diera más de 1,25, se habrían sumado mal los vectores; si diera 0,71 justo, faltaría la esquina.

Por superposición directa. Sumando las tres fuerzas como vectores, con $k=Q=d=1$, sale $(-\mathrm{0,6768};-\mathrm{0,6768})$, de módulo 0,9571, y el potencial 2,7071: los mismos coeficientes que las fórmulas cerradas.

05 · Lo que se lleva

La diagonal entra al cuadrado en la fuerza y sin cuadrado en el potencial. A $\sqrt{2}d$, la fuerza se divide por 2 y el potencial por $\sqrt{2}$. Confundirlas es el error más común de este problema.

La fuerza se proyecta, el potencial no. La de la esquina aporta a cada componente su módulo dividido por $\sqrt{2}$; al potencial le aporta entero. Lo desarrolla el campo con flechas, el potencial con números.

Sin números, la respuesta es un coeficiente. Cuando el enunciado deja $Q$ y $d$ como letras, se saca factor común $k{Q}^2/d^2$ desde el principio y se trabaja con fracciones: las cuentas son más cortas y los controles —el espejo, el rango esperado— se leen directo en los coeficientes.

06 · Qué evalúa este problema

1. Aplicar Coulomb con la distancia correcta, incluida la diagonal del cuadrado.
2. Sumar fuerzas como vectores, por componentes, y dar el resultado como vector (componentes, o módulo y dirección).
3. Calcular el potencial de varias cargas como suma de escalares, sin proyecciones.
4. Entender que el potencial en un punto es propiedad del lugar y no incluye a la carga que se ponga ahí.