El anillo cargado · Física 1

01 · El enunciado

Un anillo delgado de radio R = 0.20 m posee una carga eléctrica total Q = +4.0 µC, distribuida uniformemente a lo largo de su longitud.

El anillo se encuentra en el plano xy, con su centro en el origen de coordenadas. Considere un punto P ubicado sobre el eje z, a una distancia z del centro del anillo. Suponga que el potencial eléctrico es nulo en el infinito.

(a) Realice un esquema de la situación, indicando un elemento diferencial de carga dq y su distancia al punto P.
(b) A partir de la expresión del potencial eléctrico generado por un elemento de carga dq, plantee y resuelva la integral que permite determinar el potencial V(z) sobre el eje del anillo.
(c) Calcule el potencial eléctrico en el centro del anillo y en un punto situado a z = 0.30 m.
(d) A partir de la expresión obtenida para V(z), determine la componente E_z del campo eléctrico sobre el eje del anillo, utilizando la relación E_z = −dV/dz.
(e) Analice el comportamiento del potencial eléctrico y del campo eléctrico cuando z ≫ R. Interprete físicamente el resultado.

02 · Antes de hacer cuentas

Qué es un dq. El anillo no es una carga puntual, así que $k Q / r$ no se puede usar de entrada: cada pedazo del anillo está en otro lugar. La salida es cortarlo en trocitos tan chicos que cada uno sí sea puntual. A la carga de un trocito se la llama $d q$ , y pone en $P$ un potencial $k d q / r$ , con $r$ su distancia a $P$ . El potencial del anillo es la superposición de todos esos aportes: una suma de infinitos términos chiquitos, que es lo que escribe una integral.

El dato llave. Desde un punto del eje, todos los trocitos del anillo están a la misma distancia: cualquiera de ellos está a $R$ del centro, y el centro está a $z$ de $P$ , en ángulo recto. Por Pitágoras, $r = \sqrt{R^{2} + z^{2}}$ para todos. Eso convierte la integral en una cuenta de una línea.

Por qué el potencial y no el campo. El potencial es un número: los aportes de los trocitos se suman sin mirar hacia dónde está cada uno. El campo de cada trocito es una flecha que apunta en otra dirección, y sumarlas exige descomponer. El enunciado elige el camino corto: primero $V$ , que es fácil, y el campo después, derivando.

Qué esperar. En el centro, $P$ está lo más cerca posible de toda la carga, a $R$ : el potencial tiene que ser máximo ahí. Pero el campo en el centro tiene que ser cero, porque cada trocito empuja a una carga de prueba hacia el lado opuesto y hay otro trocito enfrente que empuja igual al revés. Muy lejos, el anillo tiene que parecer una carga puntual $Q$ , y el campo, caer a cero. Cero en el centro y cero en el infinito: en algún lugar del medio $E_{z}$ tiene que tener un máximo.

03 · La resolución

(a) El esquema. El anillo, visto en perspectiva, en el plano $x y$ ; el punto $P$ sobre el eje $z$ ; un trocito $d q$ cualquiera, y el triángulo rectángulo que da su distancia a $P$ .

(b) La integral. Se suman los aportes de todos los trocitos, con $r$ la distancia de cada uno a $P$ :

V (z) = \int_{anillo} \frac{k d q}{r}

En general $r$ cambiaría de un trocito a otro, y habría que escribirlo en función de dónde está cada uno. Acá no: vale $\sqrt{R^{2} + z^{2}}$ para todos, así que es una constante y sale de la integral. Lo que queda adentro es la suma de todas las cargas, que es $Q$ :

V (z) = \frac{k}{\sqrt{R^{2} + z^{2}}} \int_{anillo} d q = \frac{k Q}{\sqrt{R^{2} + z^{2}}}

Es una integral «resuelta» sin hacer ninguna cuenta de integrales: la simetría hizo el trabajo. Fijate que nunca se usó que la carga esté repartida uniformemente: sólo que está toda a la misma distancia.

(c) Los dos números. Con $k Q = 8,99 \cdot 10^{9} \cdot 4 \cdot 10^{- 6} = 35 960$ V·m. En el centro, $z = 0$ y la distancia es $R$ :

V (0) = \frac{k Q}{R} = \frac{35 960}{0,20} = 1,80 \cdot 10^{5} V

A $z = 0,30$ m, la distancia a cada trocito es $\sqrt{0,04 + 0,09} = \sqrt{0,13} = 0,361$ m:

V (0,30 m) = \frac{35 960}{0,361} = 9,97 \cdot 10^{4} V

Algo más de la mitad del valor del centro, aunque $P$ se alejó 30 cm: la distancia a la carga pasó de 0,20 a 0,361 m, y el potencial cae como uno sobre esa distancia.

(d) El campo, derivando. El campo es la pendiente del potencial cambiada de signo. Para derivar conviene escribir la raíz como potencia, $V = k Q {(R^{2} + z^{2})}^{- 1 / 2}$ , y usar la regla de la cadena: baja el exponente, se resta uno, y se multiplica por la derivada de lo de adentro, $2 z$ .

\begin{matrix} \frac{d V}{d z} & = k Q \cdot (- \frac{1}{2}) {(R^{2} + z^{2})}^{- 3 / 2} \cdot 2 z \\ E_{z} = - \frac{d V}{d z} & = \frac{k Q z}{{(R^{2} + z^{2})}^{3 / 2}} \end{matrix}

Tres cosas se leen sin hacer cuentas. En $z = 0$ vale cero, como se esperaba: es donde $V$ tiene su máximo y la curva está horizontal. Para $z > 0$ es positivo, y para $z < 0$ , negativo: el campo apunta siempre alejándose del anillo, que es lo que hace una carga positiva. Y el derivar sólo da la componente $z$ ; las otras dos son cero en el eje por simetría, porque cada trocito tiene otro enfrente que cancela su parte horizontal. En $z = 0,30$ m:

E_{z} = \frac{35 960 \cdot 0,30}{{(0,13)}^{3 / 2}} = 2,30 \cdot 10^{5} N/C

(e) Lejos: z ≫ R. Cuando $z$ es mucho mayor que $R$ , el $R^{2}$ al lado de $z^{2}$ no pesa, y $\sqrt{R^{2} + z^{2}} \approx z$ :

\begin{matrix} V (z) \approx \frac{k Q}{z} \\ E_{z} \approx \frac{k Q z}{z^{3}} = \frac{k Q}{z^{2}} \end{matrix}

Son el potencial y el campo de una carga puntual $Q$ puesta en el centro. La interpretación: desde lejos, el anillo se ve como un punto, y lo único que se distingue de él es cuánta carga tiene, no cómo está repartida. Es un caso de lo que dice de lejos, sólo queda lo que sobra: si al grupo de cargas le sobra carga neta, de lejos manda ella. Cuánto de lejos hace falta, con números: a $z = 5 R$ el anillo da el 98,1 % del potencial de la carga puntual y el 94,3 % de su campo; a $10 R$ , el 99,5 % y el 98,5 %. El campo se acerca más despacio, porque la corrección le pesa el triple: $3 R^{2} / (2 z^{2})$ contra $R^{2} / (2 z^{2})$ .

Y además: dónde es máximo el campo. El enunciado no lo pide, pero «Qué esperar» lo dejó planteado. El máximo de $E_{z}$ está donde su derivada se anula. Derivando $z {(R^{2} + z^{2})}^{- 3 / 2}$ como producto y sacando factor común:

\frac{d E_{z}}{d z} = \frac{k Q (R^{2} - 2 z^{2})}{{(R^{2} + z^{2})}^{5 / 2}} = 0 \Rightarrow z = \frac{R}{\sqrt{2}}

Con $R = 0,20$ m, el máximo está a 0,141 m del centro y vale $2 k Q / (3 \sqrt{3} R^{2}) = 3,46 \cdot 10^{5}$ N/C. Dicho al revés: acercarse al anillo por el eje no aumenta el campo todo el tiempo. Por debajo de 0,141 m, las fuerzas de los trocitos se vuelven cada vez más horizontales, se cancelan entre sí, y lo que queda de vertical disminuye.

Antes de mover nada, apostá: si P viene bajando por el eje desde $z = 1$ m hacia el centro, ¿el campo crece todo el camino? Llevá P hacia el anillo mirando la curva de abajo, y fijate dónde da la vuelta. Después prendé la carga puntual y compará las dos curvas cerca y lejos: cerca del anillo se separan muchísimo; a un metro, cinco radios, casi no se distinguen.

04 · El chequeo

Las unidades. $k Q / r$ es J/C, voltios, como en una carga puntual. $k Q z / r^{3}$ tiene un metro más abajo que arriba respecto del potencial: V/m, que es N/C.

El campo por el otro camino. Sin pasar por $V$ : cada trocito pone un campo de módulo $k d q / r^{2}$ que apunta de $d q$ a $P$ . Su componente $z$ es ese módulo por el coseno del ángulo con el eje, que es $z / r$ . Como $r$ es el mismo para todos, sumar da $k Q z / r^{3}$ , lo mismo que derivando. En el widget, las dos lecturas del campo son estos dos caminos, y coinciden en cada punto.

Los casos límite. En $z = 0$ el potencial es el de toda la carga a distancia $R$ , $k Q / R$ , y el campo es cero. Lejos, carga puntual. Las dos cosas son lo que el «Qué esperar» había dicho antes de cualquier cuenta.

¿Da razonable? Microcoulombs a decímetros dan cientos de kilovoltios y cientos de miles de N/C, como en el ejercicio de las tres cargas. De hecho $V (0)$ da exactamente lo mismo que el potencial en B de ese ejercicio, 179,8 kV: allá eran 5 µC a 0,25 m, acá 4 µC a 0,20 m, y $q / r$ vale 20 µC/m en los dos.

05 · Lo que se lleva

Antes de integrar, preguntar qué es constante. Una integral de $k d q / r$ donde $r$ no cambia es $k Q / r$ . Sobre el eje de un anillo pasa; sobre el eje de un disco no, porque cada anillo del disco está a otra distancia, y ahí sí hay que integrar.

Primero el potencial, después el campo. Sumar números y derivar es más corto que sumar flechas. $E_{z} = - d V / d z$ da la componente sobre el eje; que las otras sean cero lo dice la simetría, y conviene decirlo.

Donde el potencial es máximo, el campo es cero. El centro del anillo es la cumbre de $V$ y el lugar donde el campo se anula. El campo más intenso está en la ladera más empinada, a $R / \sqrt{2}$ . Es lo mismo que dice la nota del potencial eléctrico: el campo es la pendiente, no la altura.