Los conductores en equilibrio

Un conductor es un material con cargas libres de moverse por todo su volumen: en un metal, una parte de los electrones no está atada a ningún átomo y se desplaza ante la menor fuerza. Un conductor está en equilibrio electrostático cuando esas cargas ya no se mueven: se acomodaron y quedaron quietas. Casi todo lo que se puede decir de él sale de esa sola condición, más la ley de Gauss.

01 · Adentro, el campo es cero

Si en algún punto del interior del metal hubiera campo eléctrico, los electrones libres de ese punto sentirían una fuerza $F=qE$ y se moverían. Pero en equilibrio no se mueve nada. Entonces, en equilibrio,

$$\overrightarrow{E}=0\text{en todo el interior del conductor}$$

No es que el metal «bloquee» el campo. Si se pone un conductor en un campo externo, los electrones se corren hacia un lado y dejan el otro con carga positiva; esa separación produce un campo propio que, adentro, se opone al de afuera. Los electrones siguen corriéndose mientras quede campo neto, y se detienen exactamente cuando los dos se cancelan. El acomodo dura una fracción ínfima de segundo, y en los problemas se da por hecho.

02 · La carga neta vive en la superficie

Se toma una superficie gaussiana cerrada metida adentro del metal, tan cerca de la superficie como se quiera. En todos sus puntos $E=0$, así que su flujo es cero, y por Gauss la carga encerrada también:

$$\oint \overrightarrow{E}·d\overrightarrow{A}=0\Rightarrow q_{\text{enc}}=0$$

Como esto vale para cualquier superficie adentro del metal, no puede haber carga neta en ningún lugar del interior. Si al conductor se le da una carga, toda queda en la superficie. Cuánta carga hay por unidad de área se llama densidad superficial de carga, $\sigma$, en C/m². En una esfera conductora aislada, por simetría, $\sigma$ es la misma en toda la superficie y la carga total es $Q=\sigma ·4\pi R^2$.

03 · Justo afuera: σ/ε₀ y perpendicular

Perpendicular. Justo afuera de la superficie el campo no es cero, pero no puede tener componente a lo largo de la superficie: si la tuviera, empujaría a las cargas de la superficie a deslizarse por ella, y en equilibrio no se deslizan. Queda sólo la componente perpendicular.

Cuánto vale. Un «pastillero»: un cilindro cortito con una tapa de área $A$ adentro del metal y la otra justo afuera, atravesando la superficie. Por la tapa de adentro no hay flujo, porque ahí $E=0$. Por la cara lateral tampoco: adentro el campo es cero y afuera es perpendicular a la superficie, rasante a esa cara. Sólo queda la tapa de afuera, que el campo cruza de frente. La carga encerrada es la de un pedazo de superficie de área $A$, y ${\epsilon }_0$ es la permitividad del vacío, la constante de la ley de Gauss:

$$EA=\frac{\sigma A}{{\epsilon }_0}\Rightarrow E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$$

Hay que distinguirlo de la lámina de carga aislada, que da $\sigma /(2{\epsilon }_0)$. En la lámina, el flujo sale por las dos tapas del pastillero, y se reparte entre dos caras; en el conductor sale por una sola, porque del lado de adentro no hay campo. Con la densidad del Ejercicio 18, $\sigma =\mathrm{8,1}\text{µC/m²}$, el conductor da $\mathrm{9,15}·{10}^5\text{N/C}$ justo afuera, y una lámina aislada con la misma densidad, la mitad: $\mathrm{4,58}·{10}^5\text{N/C}$.

04 · Todo el conductor está al mismo potencial

La diferencia de potencial entre dos puntos es menos la integral del campo a lo largo de un camino que los une. Entre dos puntos del interior, el camino se puede tomar por adentro del metal, donde $E=0$: la integral es cero. Entre dos puntos de la superficie, el camino puede ir por la superficie, y ahí el campo es perpendicular al camino: también cero. El conductor entero, volumen y superficie, es una equipotencial.

En una esfera conductora de radio $R$ con carga $Q$, afuera el campo y el potencial son los de una carga puntual en el centro (sección 05), así que en la superficie $V=kQ/R$, y ése es el potencial de todo el interior también. Para la esfera del Ejercicio 18 —radio 0,6 m, $Q=\mathrm{36,6}\text{µC}$— da $V=\mathrm{5,49}·{10}^5\text{V}$, el mismo en el centro que en el borde, aunque en el centro el campo sea cero y en el borde valga $\mathrm{9,15}·{10}^5\text{N/C}$. Campo cero no es potencial cero: es potencial constante.

05 · El cascarón conductor

Un cascarón es una esfera hueca: el metal ocupa sólo una capa, entre un radio interior y uno exterior, y adentro queda una cavidad vacía. Con una carga $Q$ y nada en la cavidad, las dos cuentas de Gauss, con una esfera concéntrica de radio $r$, son:

• Adentro de la cavidad: la esfera gaussiana no encierra carga —la del cascarón está toda en su superficie de afuera—, así que $E·4\pi r^2=0$ y $E=0$. Es lo que se llama blindaje: lo que está adentro de una caja de metal no siente la carga de la caja.
• Afuera: encierra $Q$ entera, y el campo es el de una carga puntual en el centro, $E=kQ/r^2$.

Si en la cavidad hay una carga $q$, el razonamiento de la sección 02 obliga a algo más. Una esfera gaussiana metida en el metal del cascarón encierra carga cero; adentro de ella están $q$ y la superficie interior del cascarón. Entonces en la cara interior aparece $-q$, atraída o empujada desde el resto del metal. Como el cascarón tiene en total $Q$, en la cara exterior queda $Q+q$, y afuera el campo es el de $Q+q$ concentrada en el centro.

Arranca sin nada en la cavidad: la carga del cascarón está toda afuera y la esfera gaussiana, en la cavidad, no siente nada. Antes de mover $q$, pensá qué carga va a aparecer en la cara interior. Después llevá $r$ por las tres zonas. Probá también $Q=-q$: el cascarón queda con carga, pero afuera no hay campo.

06 · Los errores típicos

• Pensar que E = 0 adentro implica V = 0 adentro. El potencial adentro es el de la superficie, $kQ/R$ para una esfera.
• Usar σ/(2ε₀) junto a un conductor. Justo afuera de un conductor es $\sigma /{\epsilon }_0$.
• Repartir la carga por el volumen. Una esfera conductora cargada se comporta como un cascarón, no como una esfera con carga uniforme en el volumen: adentro, $E=0$, no $E\propto r$.
• Olvidar la carga inducida en la cara interior cuando hay algo en la cavidad, y con eso equivocar la carga de la cara exterior.

Para tener a mano

1. En equilibrio, adentro del conductor $E=0$: si no, las cargas libres se moverían.
2. La carga neta está en la superficie (Gauss con una superficie adentro del metal).
3. Justo afuera, el campo es perpendicular a la superficie y vale $\sigma /{\epsilon }_0$. Una lámina aislada da la mitad.
4. Todo el conductor está al mismo potencial. Esfera: $V=kQ/R$ adentro y en la superficie.
5. Cascarón: $E=0$ en la cavidad vacía, $kQ/r^2$ afuera. Con $q$ en la cavidad: $-q$ en la cara interior y $Q+q$ en la exterior.

Para leer más

Sears-Zemansky, vol. 2, sección 22.5, «Cargas en conductores», con el experimento de la cubeta de Faraday; y la sección 23.3, sobre el potencial de una esfera conductora y el campo máximo que soporta el aire. Serway-Jewett, vol. 2, sección 24.6, «Conductores en equilibrio electrostático».