El cero a un tercio

Es el problema de magnetismo del Parcial 2 del 9 de noviembre de 2021. Los otros parciales de alambres dan las corrientes y preguntan dónde se anula el campo; este da dónde se anula y pregunta por las corrientes. Es la misma cuenta, leída al revés, y lo que la resuelve es saber de antemano de qué lado cae el cero.

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Qué hace cada alambre. Cada uno crea un campo magnético que gira a su alrededor: en cada punto, el campo del alambre es una flecha perpendicular a la recta que va del alambre al punto, de módulo ${\mu }_{0}i/(2\pi r)$, y su sentido de giro lo da la regla de la mano derecha. Sobre la recta que une los alambres, las dos flechas son perpendiculares a esa recta: paralelas entre sí, y para que se anulen tienen que ser opuestas y del mismo largo.

El dato llave: «en la región externa». Entre dos alambres con corrientes del mismo sentido, las flechas son opuestas y se pueden cancelar; afuera apuntan igual y se suman. Con corrientes opuestas es al revés: entre ellos se suman, afuera se restan. Un cero afuera dice, sin ninguna cuenta, que las corrientes son opuestas.

Del lado de A1, entonces A1 es la chica. Afuera, el cero queda donde el alambre de menos corriente está cerca y el de más corriente lejos: el cero está del lado de la corriente chica. A d/3 de A1 por fuera, el punto está a $d+d/3=4d/3$ de A2: cuatro veces más lejos. Para compensar, $i_2$ tiene que ser cuatro veces $i_1$.

el cero, a d/3 de A1 por fuera: las dos flechas iguales y opuestas

El diámetro de una pulgada. No entra en ninguna cuenta. Afuera de un alambre cilíndrico, la ley de Ampère da el mismo campo que si toda la corriente fuera por el eje; todos los puntos que se preguntan están afuera de los dos alambres.

03 · La resolución

Los ejes: A1 en el origen, A2 en $x=d$, $y$ hacia arriba. El enunciado no dice cuál sale y cuál entra; se toma $i_1$ saliendo de la hoja (⊙) y, por (a), $i_2$ entrando (⊗). Con la elección contraria todos los vectores cambian de signo y los módulos no cambian.

(a) La relación. En $x=-d/3$ los módulos son iguales:

$$\frac{{\mu }_0{i}_1}{2\pi (d/3)}=\frac{{\mu }_0{i}_2}{2\pi (4d/3)}\Rightarrow i_2=4i_1$$

y en sentidos opuestos. Con $i_1$ saliendo, a la izquierda de A1 su campo apunta hacia abajo (giro antihorario); A2 entra, gira horario, y a su izquierda apunta hacia arriba. Opuestas, del mismo largo: se anulan.

(b) El campo a una altura h sobre A1. El punto es $(0,h)$. Ya no está sobre la recta de los alambres, así que las dos flechas apuntan en direcciones distintas y se suman por componentes.

con h = d/2: B₁ y B₂ en gris, la suma en azul

1. El de A1. El radio es vertical, de largo $h$. El giro antihorario, arriba del alambre, va hacia la izquierda: $${\overrightarrow{B}}_1=-\frac{{\mu }_0{i}_1}{2\pi h}\hat{x}$$
2. El de A2. El radio va de A2 al punto: $(-d,h)$, de largo $\rho =\sqrt{h^2+d^2}$. Girar ese vector 90° en sentido horario da $(h,d)$: la flecha apunta hacia arriba y a la derecha. Con módulo ${\mu }_0·4i_1/(2\pi \rho )$ y el unitario $(h,d)/\rho$: $${\overrightarrow{B}}_2=\frac{{\mu }_0{i}_1}{2\pi }\frac{4(h\hat{x}+d\hat{y})}{h^2+d^2}$$
3. La suma. Por componentes: $$B_x=\frac{{\mu }_0{i}_1}{2\pi }(\frac{4h}{h^2+d^2}-\frac{1}{h})$$ $$B_y=\frac{{\mu }_0{i}_1}{2\pi }\frac{4d}{h^2+d^2}$$

Juntando la $x$ en una fracción, $B_x=\frac{{\mu }_0{i}_1}{2\pi }\frac{3h^2-d^2}{h(h^2+d^2)}$. Y el módulo se simplifica, porque ${(3h^2-d^2)}^2+16d^2{h}^2=(9h^2+d^2)(h^2+d^2)$:

$$|\overrightarrow{B}|=\frac{{\mu }_0{i}_1}{2\pi h}\sqrt{\frac{9h^2+d^2}{h^2+d^2}}$$

Con $h=d$, por ejemplo: $\overrightarrow{B}=(1,2)·{\mu }_0{i}_1/(2\pi d)$, de módulo $\sqrt{5}=\mathrm{2,24}$ en esas unidades.

(c) La fuerza por unidad de largo. Con $i_2=2$ A, $i_1=\mathrm{0,5}$ A. La fuerza entre dos alambres paralelos por unidad de largo es

$$\frac{F}{L}=\frac{{\mu }_0{i}_1{i}_2}{2\pi d}=\frac{2·{10}^{-7}·\mathrm{0,5}·2}{d}=\frac{2·{10}^{-7}}{d}\text{ N/m}$$

con $d$ en metros: el enunciado no da su valor, así que el resultado queda en función de $d$. Es repulsiva, porque las corrientes son opuestas: el campo de A1 en A2 apunta hacia arriba, A2 lleva su corriente en $-\hat{z}$, y $(-\hat{z})\times \hat{y}=\hat{x}$: empuja a A2 hacia la derecha, lejos de A1.

Qué mirar. Con $k=2$ el cero está a $d$ de A1; al subir $k$ se acerca, y llega a la raya en $k=4$. La regla general sale de la misma igualdad de (a): el cero queda a $d/(k-1)$ de A1. Nunca llega a pegarse a A1: para eso haría falta una corriente infinita en A2.

04 · El chequeo

Unidades. ${\mu }_{0}i/h$ es T, y la raíz no tiene unidades. $2·{10}^{-7}/d$ sale de ${\mu }_0/2\pi$ en T·m/A por A² sobre m: N/m.

Los dos extremos de (b). Muy cerca de A1, con $h\ll d$, la raíz tiende a 1 y queda ${\mu }_0{i}_1/(2\pi h)$: el de A1 solo, que es el que está encima. Muy lejos, con $h\gg d$, la raíz tiende a 3 y queda ${\mu }_0·3i_1/(2\pi h)$: el de un solo alambre con la corriente neta, $4i_1-i_1=3i_1$. La fórmula da lo que tiene que dar en las dos puntas.

Una rareza que confirma. $B_x$ cambia de signo en $h=d/\sqrt{3}$: más abajo gana la horizontal de A1, más arriba la de A2. Con el widget, subiendo p por la vertical de A1, la flecha azul pasa por la vertical justo ahí.

05 · Lo que se lleva

Dónde cae el cero dice los sentidos. Afuera, opuestas; entre los dos, mismo sentido. Y siempre del lado de la corriente chica. Eso resuelve la mitad de (a) sin escribir nada.

El cociente sale de las distancias. En el cero, $i_1/r_1=i_2/r_2$: la razón de corrientes es la razón de distancias al cero.

Si falta un dato, el resultado queda en letras. Acá falta $d$, y la fuerza se da en función de $d$. Los datos que sobran, como el diámetro, también se reconocen: afuera del alambre su grosor no importa.

Qué evalúa este problema

1. Deducir el sentido relativo de las corrientes a partir de la región donde se anula el campo.
2. Plantear la igualdad de módulos en el cero y despejar la relación de corrientes.
3. Sumar por componentes los campos de dos alambres en un punto fuera de la recta que los une, con letras.
4. Calcular la fuerza entre los alambres y su carácter, dejando en letras el dato que no se da.