Dos capacitores y una llave

Es el problema de circuitos del Parcial 2 del 9 de noviembre de 2021. Tiene dos capacitores, los dos cargados, y una llave que los conecta a una batería. Las preguntas son las de siempre —antes, justo después y mucho después— y cada una se contesta con un dibujo.

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Cómo está armado. Desde el nodo A bajan dos ramas hasta B: $C_2$ sola, y $C_1$ en serie con $R_2$. Las dos están en paralelo, y la batería les llega por $R_1$ y la llave. Con la llave abierta, la batería no está conectada a nada: queda una malla cerrada de $C_2$, $C_1$ y $R_2$, aislada.

El dato llave. «No circula corriente por $R_2$» dice que esa malla aislada está quieta. Si en $R_2$ no cae tensión, las dos ramas entre A y B tienen la misma tensión por sus capacitores: $C_2$ tiene la de $C_1$, y de ahí sale $Q_2$.

La regla del capacitor. Justo después de cerrar, cada capacitor conserva su carga y es una fuente de $Q/C$: su carga sólo cambia si le pasa corriente durante un tiempo. Mucho después ya no le pasa corriente, y es un corte. El ensayo del capacitor lo desarrolla.

Qué esperar. Al final no puede circular corriente por ningún lado: desde A, los dos caminos a B pasan por un capacitor. Sin corriente, $R_1$ no baja nada y A queda al potencial del + de la batería. Los dos capacitores, que arrancan con 3,75 V, terminan con 12.

03 · La resolución

(a) Antes de cerrar. Ninguna corriente: la malla izquierda está cortada por la llave, y la derecha está quieta por dato. Sin corriente, en $R_1$ y en $R_2$ no cae nada. $C_1$ tiene

$$V_1=\frac{Q_1}{C_1}=\frac{15\text{µC}}{4\text{µF}}=\mathrm{3,75}\text{V}$$

y $C_2$, la misma tensión, porque va de A a B igual que $C_1$ con $R_2$, y en $R_2$ no cae nada. La fem tiene sus 12 V entre bornes, y la llave abierta sostiene la diferencia entre el + de la batería, 12 V sobre B, y el nodo A, 3,75 V sobre B.

Antes de cerrar: no circula corriente en ningún lado.

(b) La carga de $C_2$. Con 3,75 V,

$$Q_2=C_2{V}_2=8\text{µF}·\mathrm{3,75}\text{V}=30\text{µC}$$

con la placa positiva arriba, del lado de A, como la marca la figura. Tiene el doble de carga que $C_1$ con la misma tensión, porque tiene el doble de capacidad.

(c) Justo después de cerrar. Los dos capacitores son fuentes de 3,75 V, con el + del lado de A.

Justo después de cerrar: C₁ y C₂ son fuentes de 3,75 V.

$C_2$ fija el potencial de A en 3,75 V sobre B. Entonces $R_1$ tiene 12 V de un lado y 3,75 del otro:

$$I_{R_1}=\frac{12-\mathrm{3,75}}{30\text{Ω}}=275\text{mA}$$

En la rama de $C_1$, A está a 3,75 V y $C_1$ baja exactamente 3,75: al otro extremo de $R_2$ llega 0 V, el mismo potencial que B. En $R_2$ no cae nada y no pasa nada. Los 275 mA entran todos en $C_2$.

(d) Mucho después. Los dos capacitores son cortes. Desde A, los dos caminos hacia B están cortados, y no circula corriente por ningún lado.

Mucho después: C₁ y C₂ son cortes.

Sin corriente, $R_1$ y $R_2$ no bajan nada. A queda a 12 V sobre B, y los dos capacitores terminan con los 12 V de la batería:

$$Q_1=4\text{µF}·12\text{V}=48\text{µC},Q_2=8\text{µF}·12\text{V}=96\text{µC}$$

En (c) por $R_2$ no pasaba nada, y al final tampoco. Pero $C_1$ pasó de 15 a 48 µC, y esa carga sólo pudo entrar por $R_2$: entre esas dos fotos, por $R_2$ pasó corriente.

La simulación resuelve, instante a instante, el circuito de la segunda foto con cada capacitor como fuente de la tensión que tiene en ese momento. $C_2$ se carga primero, porque recibe toda la corriente de $R_1$. Al subir su tensión, A se despega de la tensión de $C_1$, y $R_2$ empieza a conducir. La corriente por $R_2$ llega a 62,7 mA a los 117 µs, y después se apaga junto con todo lo demás.

04 · El chequeo

Las unidades. µF por V da µC; V sobre Ω, amperios. 8,25 V sobre 30 Ω son 0,275 A.

Kirchhoff en cada foto. Justo después, la malla de $R_1$ y $C_2$: $12-30·\mathrm{0,275}-\mathrm{3,75}=0$. La malla de $C_2$, $C_1$ y $R_2$: $\mathrm{3,75}-\mathrm{3,75}-20·0=0$. Al final, con todas las corrientes en cero, cada malla suma 12 − 12 = 0.

Las proporciones. Los dos capacitores van de 3,75 a 12 V, así que los dos multiplican su carga por 3,2: 15 → 48 y 30 → 96 µC. Siguen teniendo uno el doble que el otro, como sus capacidades.

Cuánto tarda. Con dos capacitores no hay una sola constante de tiempo: el circuito tiene dos, 49,1 µs y 391 µs. La rápida es, aproximadamente, la de los dos capacitores repartiéndose carga a través de $R_2$: 20 Ω por la serie de 4 y 8 µF dan 53 µs. La lenta es la de la batería cargando a los dos juntos por $R_1$: 30 Ω por 12 µF dan 360 µs. La corriente por $R_2$ sube con la rápida y se apaga con la lenta, y el máximo cae a los 117 µs. «Mucho después» es pasados unos 2 ms.

05 · Lo que se lleva

Un dibujo por instante. Antes de cerrar, ver qué está conectado a qué. Justo después, cada capacitor es una fuente de $Q/C$. Mucho después, un corte.

Cuando todos los caminos tienen un capacitor, al final no circula nada. Entonces las resistencias no bajan tensión, y cada capacitor queda con la tensión de la batería que tiene enfrente.

Cero en dos fotos no es cero en el medio. Las fotos dicen cómo empieza y cómo termina. Lo que pasa entre ellas lo dice la carga que cambió: si un capacitor ganó carga, por su rama pasó corriente.

Qué evalúa este problema

1. Leer la topología con la llave abierta: qué malla queda aislada.
2. Traducir «no circula corriente por R₂» a la igualdad de tensiones de dos capacitores en paralelo.
3. Reemplazar cada capacitor por una fuente en el instante del cierre, y ver que una rama queda en equilibrio.
4. Reemplazarlo por un corte en el régimen final, y ver que no queda corriente en ningún lado.