La carga que se triplica

Es el problema de circuitos del Parcial 2 del 12 de noviembre de 2020, el primero de una familia que volvió en 2022 con otros números (la llave que se cierra). El método es el mismo: un dibujo por instante. Lo propio de este es el tamaño de $C_{1}$ , mil veces mayor que lo habitual, y lo que eso le hace a cada foto.

01 · El enunciado

3. Considere el circuito que se muestra en la figura. Inicialmente se sabe que R₁ = 30 Ω y que pasa por ella una corriente de 100 mA, siendo que fem = 12 V. Por otra parte tenemos que las cargas en los capacitores son Q₁ = 10 µC y Q₂ = 0; R₃ = 10 Ω y C₁ = 10 mF.

Hallar:

(a) Las caídas de potencial eléctrico sobre todos los elementos eléctricos para el instante inicial.
(b) El valor de la resistencia R₂.
(c) Las corrientes que circulan sobre todos los elementos eléctricos para instante inmediatamente posterior al cierre de la llave.
(d) Los valores de I_R1, C₂ y Q₂ para un tiempo muy posterior al cerrado de la llave, sabiendo que Q₁ = 30 µC.

02 · Antes de hacer cuentas

Tres fotos. «Inicialmente» es con la llave abierta: es el estado que describe el enunciado, y de él salen (a) y (b). (c) es justo después de cerrarla y (d), mucho después. Cada foto lleva su circuito equivalente: el capacitor es una fuente de $Q / C$ en el instante del cierre, porque su carga no tuvo tiempo de cambiar, y un corte mucho después, cuando ya no le pasa corriente. Lo cuenta el ensayo del capacitor.

Los datos llave. Los 100 mA por $R_{1}$ con la llave abierta dan $R_{2}$ . « $Q_{1}$ = 30 µC» mucho después reemplaza a $C_{2}$ , que no se da: dice cuánta carga pasó por la rama de los capacitores, 20 µC.

El dato raro. $C_{1}$ = 10 mF es una capacidad enorme para estos problemas, que suelen andar en microfaradios. Con estos datos, sus 10 µC le dan una tensión de

V_{1} = \frac{10 \cdot 10^{- 6} C}{10 \cdot 10^{- 3} F} = 1 mV

Es una fuente de un milivoltio en un circuito de doce voltios: hay que esperar que $C_{1}$ apenas se note. El problema se resuelve igual, con los números como están.

03 · La resolución

(a) Antes de cerrar. La llave abierta corta la rama derecha, y por $R_{3}$ , $C_{1}$ y $C_{2}$ no pasa corriente. Queda la malla izquierda: la fem con $R_{1}$ y $R_{2}$ en serie, con 100 mA por las dos.

Antes de cerrar. Lo punteado no lleva corriente.

En $R_{1}$ caen $30 Ω \cdot 0,1 A = 3 V$ , y de los 12 V de la fem a $R_{2}$ le quedan 9. $C_{1}$ tiene 1 mV, $C_{2}$ nada, $R_{3}$ nada. La llave abierta sostiene lo que falta en la rama derecha: A está 9 V por encima de B, y del otro lado de la llave hay 1 mV.

elemento	corriente	caída
fem	100 mA	12 V
R₁	100 mA	3 V
R₂	100 mA	9 V
C₁	0	1 mV
C₂	0	0
R₃	0	0
llave abierta	0	9 − 0,001 = 8,999 V

(b) La resistencia $R_{2}$ . 9 V con 100 mA:

R_{2} = \frac{9 V}{0,1 A} = 90 Ω

(c) Justo después de cerrar. $C_{1}$ es una fuente de 1 mV con el + del lado de A, y $C_{2}$ , descargado, un cable. Se resuelve con las leyes de Kirchhoff.

Justo después de cerrar: C₁ es una fuente de 1 mV, C₂ un cable.

Con $I_{1}$ por $R_{1}$ hacia A, $I_{2}$ por $R_{2}$ de A hacia B, e $I_{3}$ por la rama derecha, de A hacia $C_{1}$ :

Nodo A: $I_{1} = I_{2} + I_{3}$ .
Malla izquierda: $12 = 30 I_{1} + 90 I_{2}$ .
Entre A y B por los dos caminos: $90 I_{2} = 0,001 + 10 I_{3}$ .

Despejando $I_{2}$ de la tercera y llevando todo a la segunda queda $12 = 0,00133 + 43,3 I_{3}$ , y

I_{3} = 277 mA, I_{2} = 30,8 mA, I_{1} = 308 mA

elemento	corriente	caída
fem y R₁	308 mA	12 V y 9,23 V
R₂	30,8 mA	2,77 V
C₁, C₂ y R₃	277 mA	0,001 V, 0 y 2,77 V

La rama nueva casi no le cobra nada a la corriente: un milivoltio en $C_{1}$ , nada en $C_{2}$ y 10 Ω en $R_{3}$ . Por eso se lleva casi todo, y la tensión entre A y B se desploma de 9 a 2,77 V. $R_{2}$ queda en paralelo con una rama que es, a todos los efectos, $R_{3}$ sola: $2,77 / 90$ contra $2,77 / 10$ , nueve veces más por la rama nueva.

(d) Mucho después. Los dos capacitores son cortes, la rama derecha no lleva corriente, y la malla izquierda vuelve a lo de antes:

Mucho después: C₁ y C₂ son cortes.

I_{R_{1}} = 100 mA

Entre A y B hay otra vez 9 V, y los sostienen $C_{1}$ y $C_{2}$ en serie. En serie, la carga que entra a uno sale del otro: lo que ganó $C_{1}$ lo ganó $C_{2}$ . $C_{1}$ pasó de 10 a 30 µC, se triplicó, y $C_{2}$ , que arrancó vacío, tiene

Q_{2} = 30 - 10 = 20 µC

$C_{1}$ tiene ahora $30 µC / 10 mF = 3$ mV, así que a $C_{2}$ le quedan $9 - 0,003 = 8,997$ V, y

C_{2} = \frac{20 µC}{8,997 V} = 2,22 µF

A tres cifras es lo mismo que $20 / 9$ : con estos datos, la tensión de $C_{1}$ no llega a mover la tercera cifra de $C_{2}$ . Toda la tensión de A a B queda en el capacitor chico.

La simulación resuelve, instante a instante, el circuito de la segunda foto con cada capacitor como una fuente de la tensión que tiene en ese momento. $Q_{1}$ sube de 10 a 30 µC mientras la tensión de $C_{1}$ se queda en milivoltios: la carga se triplica sin que su tensión pese en ninguna cuenta. La que sube de verdad es la de $C_{2}$ , de 0 a casi 9 V.

04 · El chequeo

Las unidades. µC sobre mF da milivoltios, y es la conversión donde es fácil perder tres ceros: $10^{- 6} / 10^{- 3} = 10^{- 3}$ .

Por otro camino. La rama derecha ve al resto como una fuente de 9 V con $R_{1} ∥ R_{2} = 22,5$ Ω en serie; con $R_{3}$ , 32,5 Ω. Al cerrar pasan $(9 - 0,001) / 32,5 = 277$ mA, lo mismo que con Kirchhoff. La serie de $C_{1}$ y $C_{2}$ vale 2,2225 µF, y por la tensión que les faltaba, 8,999 V, da 20,0 µC: lo que ganó $C_{1}$ .

Cuánto tarda. La constante de tiempo de la rama es $τ = 32,5 Ω \cdot 2,22 µF = 72,2 µs$ , y a los $5 τ$ , 0,36 ms, ya está. La fija $C_{2}$ : con $C_{1}$ tan grande, el τ es el que tendría la rama con $C_{1}$ cambiado por un cable.

El caso límite. Si $C_{1}$ fuera de 10 µF, con la misma carga tendría 1 V antes de cerrar y 3 V al final. Por la rama nueva pasarían 246 mA al cerrar, y a $C_{2}$ le quedarían 6 V: $C_{2} = 20 / 6 = 3,33$ µF. Las cuentas son las mismas, y $C_{1}$ pesa en todas. Con 10 mF, su tensión es mil veces menor y deja de contar: el capacitor muy grande se acerca a un cable en todos los instantes, no sólo en el del cierre.

05 · Lo que se lleva

Un dibujo por instante. Antes de cerrar, la rama nueva no existe. Justo después, cada capacitor es una fuente de $Q / C$ , o un cable si está descargado. Mucho después, un corte.

La tensión de un capacitor es la de su carga, no la de su nombre. Un capacitor cargado no siempre es una fuente que importa: 10 µC en 10 mF es un milivoltio. Antes de decidir qué pesa en la malla, conviene sacar $Q / C$ de cada uno.

En serie se comparte lo que pasa. Dos capacitores en serie ganan la misma carga, y el más chico se lleva casi toda la tensión.

Qué evalúa este problema

Ver qué parte del circuito lleva corriente con la llave abierta, y sacar de ahí $R_{2}$ .
Reemplazar cada capacitor por una fuente o un cable en el instante del cierre, y resolver con Kirchhoff.
Reemplazarlo por un corte en el régimen final.
Usar que en serie la carga que se agrega es la misma en los dos, y deducir $C_{2}$ de una carga.