Dos corrientes opuestas

Es el problema de magnetismo del Parcial 2 del 10 de noviembre de 2022, y tiene casi todo lo que se puede preguntar con dos alambres: el sentido del campo en cada región, dónde se anula, la fuerza entre ellos, el campo en un punto fuera de la recta y cómo se ve todo desde lejos.

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Qué hace cada alambre. Un alambre recto y largo con corriente crea un campo magnético que da vueltas a su alrededor: en cada punto, el campo del alambre es una flecha perpendicular a la recta que va del alambre al punto, de módulo

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$$

con $r$ la distancia al alambre. El sentido de giro lo da la regla de la mano derecha: el pulgar en la corriente, los dedos se curvan como el campo. Mirando la hoja, una corriente que sale (⊙) tiene un campo que gira en sentido antihorario, y una que entra (⊗), en sentido horario.

Qué pasa sobre la recta que los une. Ahí el radio de cada alambre es horizontal, así que las dos flechas son verticales: todo el inciso (a) y el (b) se reducen a ver si cada una apunta arriba o abajo, y cuál es más larga. El 1 entra y gira horario: a su derecha su campo apunta hacia abajo, a su izquierda hacia arriba. El 2 sale y gira antihorario: a su derecha apunta hacia arriba, a su izquierda hacia abajo.

Dónde puede anularse. Entre los dos alambres, los dos campos apuntan hacia abajo: se suman y no pueden anularse. Afuera apuntan al revés uno del otro y pueden cancelarse, pero sólo donde tengan el mismo módulo. Como el campo cae con la distancia, eso pasa del lado de la corriente más chica, donde ella está cerca y la grande lejos: a la derecha del 2. Es lo que cuenta el ensayo el cero está del lado de la corriente chica.

El dato llave. $I_1=2I_2$ y los sentidos opuestos. Con eso se decide todo lo cualitativo antes de poner un número; los números sólo entran en (c) y (d).

03 · La resolución

El sistema de coordenadas, sobre el conductor 1: el 1 en el origen, el 2 en $x=d$, el eje $y$ hacia arriba en la hoja y el $z$ saliendo de ella. La corriente $I_1$ va en $-\hat{z}$ y la $I_2$ en $+\hat{z}$.

(a) La dirección en cada región. Primero las dos flechas, después la suma. Sobre el eje, el campo de cada alambre es vertical:

en cada punto: B₁ y B₂ en gris, la suma en azul; cada punto con su propia escala

1. $x<0$. $B_1$ hacia arriba, $B_2$ hacia abajo. Gana el 1: tiene el doble de corriente y está más cerca. El campo apunta en $+\hat{y}$.
2. $0<x<d$. Los dos hacia abajo: se suman. El campo apunta en $-\hat{y}$, y es la región donde es más intenso.
3. $x>d$. $B_1$ hacia abajo, $B_2$ hacia arriba, y acá no hay un ganador fijo. Cerca del 2 gana el 2, que está cerca; lejos gana el 1, que tiene más corriente. Entre $d$ y $2d$ el campo apunta en $+\hat{y}$; más allá de $2d$, en $-\hat{y}$. El cambio es el cero de (b).

En las tres regiones el campo es vertical, paralelo al eje $y$: lo único que cambia es el sentido. La respuesta a «$x>d$» necesita dos renglones, y es lo que el inciso está midiendo.

(b) Dónde se anula. Sólo puede ser a la derecha del 2, en algún $x>d$, donde los módulos se igualan. La distancia al 1 es $x$ y al 2 es $x-d$:

$$\frac{{\mu }_0·2I_2}{2\pi x}=\frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi (x-d)}\Rightarrow 2(x-d)=x$$ $$x=2d=2\text{ m}$$

El campo se anula sobre la recta paralela a los alambres que pasa por $x=2$ m, $y=0$: a 1 m a la derecha del conductor 2. No depende del valor de las corrientes, sólo de su cociente: $I_2$ se simplifica. Fuera del eje no hay otro cero, porque ahí los radios no son paralelos y las dos flechas nunca quedan opuestas.

(c) La fuerza por unidad de largo. Con $i_1=1$ A, $i_2=\mathrm{0,5}$ A. El conductor 2 está en el campo del 1, que en $x=d$ vale ${\mu }_0{i}_1/(2\pi d)$ hacia abajo. La fuerza sobre un tramo de alambre es $\overrightarrow{F}=I\overrightarrow{L}\times \overrightarrow{B}$, y por unidad de largo:

$$\frac{F}{L}=\frac{{\mu }_0{i}_1{i}_2}{2\pi d}=\frac{4\pi ·{10}^{-7}·1·\mathrm{0,5}}{2\pi ·1}={10}^{-7}\text{ N/m}$$

Son 0,1 µN por metro de cable. El sentido, con el producto vectorial: $i_2$ va en $+\hat{z}$ y el campo del 1 en $-\hat{y}$; $\hat{z}\times (-\hat{y})=+\hat{x}$, así que el 2 es empujado hacia la derecha, lejos del 1. Por la tercera ley el 1 siente lo mismo hacia la izquierda. Es repulsiva, como entre toda pareja de alambres con corrientes opuestas.

(d) El campo en (d/2, d/2, 0). Fuera del eje ya no hay atajo: hay que dibujar las dos flechas y sumarlas por componentes. El punto está a la misma distancia de los dos, $r=\sqrt{{(d/2)}^2+{(d/2)}^2}=d/\sqrt{2}=\mathrm{0,707}$ m, y los dos radios forman 45° con el eje.

a escala: B₁ y B₂ en gris, la suma en azul

1. El del 1. Módulo ${\mu }_0·1/(2\pi ·\mathrm{0,707})=\mathrm{2,83}·{10}^{-7}$ T. El radio va del 1 al punto, a 45° hacia arriba y a la derecha; el giro es horario, así que la flecha va a 45° hacia abajo y a la derecha: $${\overrightarrow{B}}_1=\mathrm{2,83}·{10}^{-7}·\frac{\hat{x}-\hat{y}}{\sqrt{2}}$$ $${\overrightarrow{B}}_1=(2,-2)·{10}^{-7}\text{ T}$$
2. El del 2. La mitad de corriente a la misma distancia: $\mathrm{1,41}·{10}^{-7}$ T. El radio va del 2 al punto, a 45° hacia arriba y a la izquierda; el giro es antihorario, así que la flecha va a 45° hacia abajo y a la izquierda: $${\overrightarrow{B}}_2=\mathrm{1,41}·{10}^{-7}·\frac{-\hat{x}-\hat{y}}{\sqrt{2}}$$ $${\overrightarrow{B}}_2=(-1,-1)·{10}^{-7}\text{ T}$$
3. La suma. Componente a componente: $$\overrightarrow{B}=(1,-3,0)·{10}^{-7}\text{ T}$$ de módulo $\sqrt{10}·{10}^{-7}=\mathrm{3,16}·{10}^{-7}$ T, casi vertical hacia abajo.

Las dos flechas tiran hacia abajo y en horizontal se oponen: abajo se suman, como en la región entre los alambres, y en horizontal gana el 1, que tiene el doble de corriente a la misma distancia.

(e) Muy lejos. Si $x\gg d$, las dos distancias, $x$ y $x-d$, son casi la misma, y los dos campos son casi como los de dos alambres en el mismo lugar. Opuestos, se restan:

$$B\approx \frac{{\mu }_0(I_1-I_2)}{2\pi x}=\frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi x}$$

en la dirección del que tiene más corriente, el 1: hacia $-\hat{y}$ para $x$ grande y positivo, hacia $+\hat{y}$ para $x$ grande y negativo. De lejos, el par se ve como un solo alambre que lleva la corriente neta, $I_1-I_2=I_2$, entrando a la hoja: lo que sobra, como en de lejos sólo queda lo que sobra.

Qué mirar. Sobre el eje las tres flechas quedan verticales siempre: sólo cambia cuál es más larga. Entre los alambres la gris de los dos apunta igual; a la derecha del 2, una contra la otra, y en $x=2$ m la azul desaparece. Saliendo del eje aparece la componente horizontal, y no se anula en ningún otro lado.

04 · El chequeo

Unidades. ${\mu }_{0}I/r$ es (T·m/A)·A/m = T. ${\mu }_0{i}_1{i}_2/d$ es T·A, y como $F=ILB$, T·A = N/m.

El cero, de vuelta. En $x=2$ m el 1 está a 2 m con 1 A y el 2 a 1 m con 0,5 A: $1/2=\mathrm{0,5}/1$. Los dos dan $1·{10}^{-7}$ T, en sentidos opuestos.

Un caso límite. Si las corrientes fueran iguales y opuestas, la condición del cero quedaría $x-d=x$, que no tiene solución: el cero se iría al infinito. Y es lo mismo que dice (e): con $I_1=I_2$ la corriente neta es cero y de lejos no queda nada.

Qué tan lejos es «muy lejos». Con 1 A y 0,5 A, en $x=10$ m la suma exacta da $\mathrm{8,89}·{10}^{-9}$ T y la aproximación $\mathrm{1,00}·{10}^{-8}$ T, un 12,5 % arriba; en $x=100$ m, $\mathrm{9,90}·{10}^{-10}$ contra $\mathrm{1,00}·{10}^{-9}$, un 1 %. La aproximación mejora como $d/x$.

05 · Lo que se lleva

Sobre la recta, signos; fuera de ella, componentes. En el eje cada flecha es vertical y alcanza con decidir arriba o abajo y comparar módulos. En cualquier otro punto, cada flecha es perpendicular a su radio y hay que sumarlas como vectores.

El cero se ubica antes de calcularlo. Opuestas: afuera, del lado de la chica. Mismo sentido: entre los dos, más cerca de la chica. La cuenta sólo dice a qué distancia.

Una región puede tener dos sentidos. «Del lado de afuera» no es una región de campo uniforme: el cero la parte en dos, y la pregunta cualitativa espera que se note.

Qué evalúa este problema

1. Usar la regla de la mano derecha para el sentido de giro del campo de cada alambre.
2. Superponer dos campos sobre la recta que une los alambres, con signo, y ver dónde se suman y dónde se restan.
3. Ubicar y calcular el punto donde el campo se anula.
4. Calcular la fuerza entre dos alambres y decidir si es atractiva o repulsiva.
5. Sumar campos por componentes en un punto fuera de la recta.
6. Reconocer el campo de lejos como el de la corriente neta.