El cero está del lado de la corriente chica

Con dos alambres paralelos, el campo magnético se anula en un solo lugar de la recta que los une: entre ellos si las corrientes van en el mismo sentido, afuera si van opuestas. Pero en los dos casos cae más cerca de la corriente más chica, a distancias que están en la misma proporción que las corrientes.

«¿Dónde se anula el campo?» es el inciso que más se repite en los problemas de alambres: está en los parciales de 2021 y 2022 y en los Ejercicios 8 y 9 del práctico. La intuición que se trae dice «en el medio», o «entre los dos», y falla en cuanto las corrientes son distintas o van al revés. Lo que acierta siempre es otra cosa: el cero está del lado de la corriente chica. Con eso, y con una regla de tres, el inciso se contesta antes de escribir una ecuación.

01 · Los términos

Un alambre acá es un conductor recto, largo, por el que circula una corriente $I$. Los dibujos lo miran de punta: ⊙ es una corriente que sale de la hoja y ⊗ una que entra. El campo magnético $\overrightarrow{B}$ que crea un alambre forma círculos a su alrededor: en cada punto es una flecha perpendicular al radio que va del alambre al punto, que gira antihorario si la corriente sale y horario si entra (la regla de la mano derecha), y que mide

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$$

a distancia $r$. Con dos alambres el campo total es la suma de las dos flechas. Que se anule en un punto quiere decir que ahí las dos flechas miden lo mismo y apuntan al revés. La separación entre los alambres es $d$.

02 · Sólo sobre la recta que los une

Para que dos flechas se cancelen tienen que ser paralelas. Cada una es perpendicular a su radio, así que para que las flechas sean paralelas los dos radios tienen que serlo también: el punto, el alambre a y el alambre b tienen que estar alineados. Fuera de la recta que une los alambres, el campo no se anula nunca. Eso deja la búsqueda en una dimensión, y la recta tiene tres tramos: a la izquierda de los dos, entre ellos, y a la derecha de los dos.

Sobre la recta, cada radio es horizontal y cada campo es vertical: arriba o abajo. Con una corriente que sale, el campo apunta hacia arriba a la derecha del alambre y hacia abajo a su izquierda. Con una que entra, al revés.

03 · El mismo sentido: entre ellos

Con las dos corrientes saliendo, como en la figura, afuera las dos flechas apuntan igual y se suman. El único tramo donde se oponen es el de en medio. Ahí, a distancia $r_a$ de a y $r_b$ de b, se cancelan cuando miden lo mismo:

$$\frac{{\mu }_0{I}_a}{2\pi r_a}=\frac{{\mu }_0{I}_b}{2\pi r_b}\Rightarrow \frac{r_a}{r_b}=\frac{I_a}{I_b}$$

Ese renglón es todo el ensayo. Las distancias al cero están en la proporción de las corrientes. La corriente chica tiene la distancia chica: el cero se le acerca, porque una corriente débil sólo puede igualar a una fuerte desde cerca. Con $r_a+r_b=d$, el cero queda a $d{I}_a/(I_a+I_b)$ de a. Con corrientes iguales, en el medio; con 1 y 2, a $d/3$ de la de 1.

04 · Sentidos opuestos: afuera

Si b entra, sus dos flechas de la figura se dan vuelta. Ahora en el medio las dos apuntan hacia arriba y se suman, y es afuera, a los dos lados, donde se oponen. ¿Cuál de los dos lados? La misma proporción, $r_a/r_b=I_a/I_b$, sólo se puede cumplir del lado de la chica: del otro lado, el punto está más cerca de la grande, que encima es más fuerte, y nunca la iguala. Ahora la diferencia de las distancias es $d$, y el cero queda a $d{I}_{\text{chica}}/(I_{\text{grande}}-I_{\text{chica}})$ por fuera de la chica.

Con 1 y 2 opuestas, el cero está a una distancia $d$ por fuera de la de 1. Cuanto más parecidas las corrientes, más lejos: con 1 y 1,5, a $2d$; con 1 y 1,1, a $10d$. Con dos corrientes iguales y opuestas el cero se va al infinito y desaparece: el campo no se anula en ningún punto.

Las dos situaciones son la misma regla: el cero está donde las flechas se oponen, y de los lugares donde se oponen, del lado de la chica. Lo único que el sentido decide es si ese lado es «entre» o «afuera». El widget es para probarlo. Arranca con a de 1 A saliendo y b de 3 A entrando. Antes de mover nada, apostá en qué tramo se anula.

Con 1 A y 3 A opuestas el cero está a la izquierda de a, a $d/2$: del lado de la chica, por afuera. Las distancias a los dos alambres son $d/2$ y $3d/2$, la misma proporción de 1 a 3 que las corrientes. Dale vuelta a b para que salga: el cero salta al medio, a $d/4$ de a, y sigue del lado de la chica. Subí después la corriente de a por encima de 3 A, y mirá cómo el cero cruza al lado de b.

05 · El número: cuatro problemas, una regla

Los cuatro problemas que piden el cero, con la regla aplicada. La última columna es la distancia del cero a la corriente chica, que en los cuatro sale de la proporción.

problema	corrientes	el cero	de la chica
Ej. 8	$i_a$, $i_b$, mismo sentido	entre	$d{i}_{\text{ch}}/(i_a+i_b)$
Ej. 9	20 A y 40 kA, mismo	entre	0,25 mm
2021	$i_2=4i_1$, opuestas	afuera	$d/3$
2022	$I_1=2I_2$, opuestas	afuera	$d$

Ejercicio 9. La corriente de abajo resulta de 40 000 A, dos mil veces la de arriba. El cero se pega al de arriba, el de 20 A: a $\mathrm{0,5}\text{m}·20/40020$, un cuarto de milímetro. Ver venir eso antes de la cuenta es lo que la regla regala: con corrientes tan distintas, el cero está prácticamente sobre la chica.

Parcial 2021. Es la regla usada al revés. El enunciado dice que el campo se anula por fuera, a $d/3$ de A1. Que esté afuera dice que las corrientes son opuestas; que esté del lado de A1, que A1 es la chica. Las distancias a los dos alambres son $d/3$ y $4d/3$, y la proporción da $i_2=4i_1$ sin una sola ecuación de campo.

Parcial 2022. Opuestas con $I_1=2I_2$: afuera, del lado de la chica, la 2. Las distancias van de 1 a 2 y difieren en $d$, así que son $d$ y $2d$: con A1 en el origen y $d=1$ m, el cero está en $x=2$ m.

06 · Por qué conviene pensarlo así

La forma de siempre es plantear $B_a+B_b=0$ con las distancias escritas en función de una $x$, y ahí está la trampa: en cada tramo las distancias y los signos se escriben distinto, y una ecuación planteada en el tramo equivocado da igual un número, que cae fuera del tramo o en un lugar donde los campos se suman. La regla evita eso porque decide el tramo antes de la cuenta: primero el sentido, que dice si es entre o afuera; después la corriente chica, que dice de qué lado. La cuenta que queda es una proporción.

Y sirve de chequeo al final. Si después de resolver el cero quedó más cerca de la corriente grande, o entre dos corrientes opuestas, hay un signo mal puesto.

Lo que queda: el cero está donde las flechas se oponen, y del lado de la corriente chica, a distancias proporcionales a las corrientes. Mismo sentido, entre; opuestas, afuera; iguales y opuestas, en ningún lado. Cómo se dibuja cada flecha está en el campo de un alambre. El Ejercicio 8 resuelto con las flechas a la vista es dónde se anula entre dos alambres, y los dos parciales, el cero a un tercio y dos corrientes opuestas.

Para leer más: Sears-Zemansky, vol. 2 (14.ª ed.), cap. 28, sección 28.3, con el ejemplo de dos alambres sumados (ejemplo 28.4).