Las leyes de Kirchhoff

Con una sola batería y resistencias que se agrupan de a dos, en serie o en paralelo, un circuito se resuelve reduciéndolo hasta que queda una resistencia sola. Alcanza con poner una segunda batería en otra rama para que ya no haya nada que agrupar. Las leyes de Kirchhoff son dos reglas que valen en cualquier circuito, se pueda reducir o no. No agregan física nueva: una es la conservación de la carga y la otra es que el potencial eléctrico es un número fijo en cada punto.

01 · Nodos, ramas y mallas

Tres palabras para nombrar las partes de un circuito. Un nodo es un punto donde se juntan tres cables o más. Una rama es el tramo que va de un nodo a otro: una batería, una resistencia, varias en fila. Por todos los elementos de una rama pasa la misma corriente, porque en el camino no hay ningún lugar donde desviarse. Una malla es cualquier camino cerrado: salir de un punto, seguir cables y volver al mismo punto.

Los puntos unidos por un cable sin nada en el medio son, a los efectos del circuito, el mismo punto: un cable ideal no tiene resistencia, así que no hay diferencia de potencial entre sus extremos. Las letras que una figura pone en cada esquina son útiles para nombrar recorridos, pero varias esquinas pueden ser un solo nodo. Lo primero que se hace con un circuito es contarlos de verdad.

El circuito de abajo, que es el del widget de esta nota, tiene dos nodos (el cable de arriba y el de abajo) y tres ramas entre ellos: una con la batería $ε_{1}$ y la resistencia $R_{1}$ , otra con $R_{3}$ sola, y otra con $ε_{2}$ y $R_{2}$ . Tres ramas son tres corrientes desconocidas.

02 · La ley de los nodos: la carga no se amontona

La intuición. En un circuito que funciona de manera estacionaria, ningún punto de un cable junta carga: si entrara más de la que sale, ese punto se iría cargando sin parar, y su potencial con él. Lo que llega a un nodo por unas ramas se va por las otras, como el agua en una unión de caños.

La fórmula. En cada nodo,

\sum_{entran} I = \sum_{salen} I

En el nodo de arriba del circuito, con las flechas del dibujo, entran $I_{1}$ e $I_{2}$ y sale $I_{3}$ : $I_{1} + I_{2} = I_{3}$ . En el de abajo entra $I_{3}$ y salen las otras dos, que es la misma ecuación.

Por qué siempre sobra una. Cada corriente de rama sale de un nodo y entra en otro, así que aparece una vez sumando y una vez restando. Si se suman las ecuaciones de todos los nodos, todo se cancela y queda $0 = 0$ : cualquiera de ellas es la suma de las demás. Con $n$ nodos hay $n - 1$ ecuaciones de nodo independientes.

03 · La ley de las mallas: dar la vuelta no cambia el potencial

La intuición. Cada punto de un circuito tiene un potencial, un número en voltios, igual que cada punto de un cerro tiene una altura. Ese número depende sólo del lugar, no de cómo se llegó: el campo electrostático es conservativo. Entonces, si se sale de un punto, se recorre una malla subiendo y bajando, y se vuelve al punto de partida, se está otra vez a la misma altura. Todo lo que se subió se bajó.

La fórmula. Para cualquier malla, sumando cada diferencia de potencial en el orden en que se la cruza,

\sum_{malla} Δ V = 0

Qué sube y qué baja. En un circuito de corriente continua hay tres cosas que cambian el potencial, y cada una tiene su regla.

Una batería sostiene entre sus bornes una diferencia de potencial fija, su fuerza electromotriz $ε$ : el borne + está $ε$ voltios más alto que el −. Cruzarla de − a + es subir $ε$ ; de + a −, bajar $ε$ . No importa hacia dónde vaya la corriente: la batería ideal tiene esa diferencia siempre.
Una resistencia con corriente $I$ tiene entre sus extremos $I R$ , por la ley de Ohm, y la corriente va del extremo alto al bajo: baja por la resistencia como el agua cuesta abajo. Cruzarla a favor de la corriente es bajar $I R$ ; en contra, subir $I R$ .
Un capacitor con carga $q$ tiene $q / C$ entre sus placas, con la positiva más alta. Para el recorrido se comporta como una batería cuyo valor cambia con el tiempo: cruzarlo de la placa + a la − es bajar $q / C$ .

elemento	se cruza	ΔV
batería	de − a +	$+ ε$
batería	de + a −	$- ε$
resistencia	a favor de I	$- I R$
resistencia	contra I	$+ I R$
capacitor	de + a −	$- q / C$

En el circuito de arriba, recorriendo la malla de la izquierda en sentido horario (se cruzan $ε_{1}$ de − a + y $R_{1}$ hacia arriba, y $R_{3}$ hacia abajo), y la de la derecha en sentido antihorario (lo mismo con $ε_{2}$ y $R_{2}$ ):

\begin{array}{l} ε_{1} - R_{1} I_{1} - R_{3} I_{3} = 0 \\ ε_{2} - R_{2} I_{2} - R_{3} I_{3} = 0 \end{array}

Las dos resistencias de cada malla se cruzan a favor de la corriente supuesta, y por eso restan. El sentido del recorrido es otra elección libre, independiente del de las corrientes: recorrer al revés cambia el signo de todos los términos, y la ecuación es la misma.

04 · El procedimiento, paso a paso

Paso 1: contar nodos y ramas. Una corriente desconocida por rama. Con $n$ nodos y $r$ ramas hay $r$ incógnitas.

Paso 2: elegir un sentido para cada corriente, al azar. No hace falta acertar, y en general no se puede saber de antemano. Si al final una corriente sale negativa, iba al revés, con el mismo valor: el número está bien, la flecha estaba dada vuelta. Lo único que no se puede hacer es cambiar el sentido elegido a mitad de las cuentas.

Paso 3: escribir las ecuaciones de nodo. Son $n - 1$ ; la que falta no agrega nada.

Paso 4: escribir las ecuaciones de malla. Faltan $r - (n - 1)$ ecuaciones, y salen de otras tantas mallas independientes. Con el circuito dibujado en un plano sin cruces, son las «ventanas»: las mallas que no tienen ningún cable adentro. La malla de afuera, la que rodea todo, es la suma de las ventanas, y no sirve como ecuación extra; sirve para verificar. En total:

\underset{nodos}{\underset{⏟}{(n - 1)}} + \underset{mallas}{\underset{⏟}{(r - n + 1)}} = r

tantas ecuaciones como corrientes. En el circuito de esta nota, dos nodos y tres ramas: una ecuación de nodo y dos de malla, las de las secciones 02 y 03.

Paso 5: resolver. Casi siempre conviene usar la de nodo para eliminar una corriente, por ejemplo $I_{3} = I_{1} + I_{2}$ , y quedarse con dos ecuaciones de malla con dos incógnitas.

Paso 6: leer los signos y verificar. Las negativas se dan vuelta. Para controlar, se toma un nodo como potencial cero y se calcula el potencial de cada punto caminando por el circuito con las corrientes ya halladas: si por dos caminos distintos se llega a un mismo punto con valores distintos, hay un error. El otro control barato es la energía: lo que entregan las baterías tiene que ser lo que disipan las resistencias, $\sum I^{2} R$ .

El widget resuelve este circuito con $R_{1} = 4$ Ω, $R_{2} = 6$ Ω y $R_{3} = 2$ Ω, y te deja mover las dos baterías.

Arranca con $ε_{1} = 12$ V y $ε_{2} = 9$ V: las tres corrientes salen positivas y las dos baterías entregan energía. Apostá antes de tocar nada: si se baja $ε_{2}$ , ¿en qué momento la de la derecha deja de entregar? Después bajala de a medio voltio, mirando la flecha de $I_{2}$ .

La flecha se da vuelta en 4 V, no en cero. Cuando por la rama de la derecha no pasa corriente, $R_{2}$ no tiene caída y el nodo de arriba queda exactamente a $ε_{2}$ . Pero sin esa rama, el resto es una sola malla con $ε_{1}$ , $R_{1}$ y $R_{3}$ , que pone el nodo de arriba en

ε_{1} \frac{R_{3}}{R_{1} + R_{3}} = 12 \cdot \frac{2}{6} = 4 V

Debajo de 4 V, $I_{2}$ sale negativa: la corriente baja por la derecha y entra a la batería por su borne +. La batería recibe energía, se está cargando. Con $ε_{2} = 0$ la rama es una resistencia sola, y por ella circulan 0,545 A hacia abajo. Fijate que en ningún caso cambia el valor de lo que se lee en las mallas: con los signos que sean, cada suma da cero.

Con $ε_{1} = 14$ V, $ε_{2} = 10$ V y la de la derecha dada vuelta, el circuito es el del Ejercicio 11, dibujado de otra manera; está resuelto paso a paso en el ejemplo de las tres corrientes.

05 · Cuándo no hace falta Kirchhoff

Kirchhoff resuelve todo, pero no siempre es lo más corto. Si el circuito tiene una sola batería y las resistencias se pueden ir agrupando de a dos —dos en fila son una en serie, dos entre los mismos nodos son una en paralelo— hasta que queda una sola, se reduce, se saca la corriente de la batería y se vuelve hacia atrás repartiendo. Es lo que se hace en el Ejercicio 9, con $2 + (3 ∥ 1) + 4 = 6,75$ Ω: plantear mallas ahí sería escribir tres ecuaciones para llegar a lo mismo. La reducción está en la nota de resistencias en serie y en paralelo.

Dos baterías en la misma rama tampoco piden Kirchhoff: están en serie y se suman con su signo, la que empuja al revés resta. Lo que obliga a plantear las leyes es:

baterías en ramas distintas, como en el widget: ninguna resistencia queda «en serie» o «en paralelo» con otra, porque entre ellas siempre hay una fuente;
un puente: aun con una sola batería, cinco resistencias en forma de rombo con una en la diagonal no se agrupan de a dos.

La prueba rápida: si se cambia la batería que molesta por un cable y el circuito se reduce, la que molestaba es la única razón para usar Kirchhoff. En el Ejercicio 11, sin la batería de 10 V, quedan 4 Ω en serie con 6 Ω y 2 Ω en paralelo.

06 · El capacitor dentro de Kirchhoff

Un capacitor en un circuito es la excepción a «la carga no se amontona»: en sus placas sí se junta. Pero lo que entra a una placa es lo que sale de la otra, así que para el resto del circuito es una rama más, con una corriente $I$ que lo atraviesa mientras se carga. En la ley de las mallas pone $q / C$ , y el problema es que $q$ cambia con el tiempo. Hay dos instantes donde no cambia, y son los dos que piden los parciales.

Justo después de cerrar la llave. La carga de un capacitor no puede saltar de golpe: hacerlo pediría una corriente infinita, y las resistencias del camino no la dejan pasar. Así que en el primer instante el capacitor tiene la carga que tenía antes, $q_{0}$ , y entre sus placas hay $q_{0} / C$ : es una batería de $q_{0} / C$ . Si estaba descargado, es una batería de cero voltios, o sea un cable.

Mucho después. La carga va cambiando hasta que deja de cambiar. Ahí $I = d q / d t = 0$ : por la rama del capacitor no pasa corriente, y el capacitor es un corte. Su tensión no es cero: es la que el resto del circuito le pone entre las placas, y de ahí sale la carga final, $Q = C V$ .

En los dos instantes el capacitor se reemplaza por algo que Kirchhoff ya sabe tratar, y el circuito se resuelve como cualquier otro. Un ejemplo: una batería de 12 V, una resistencia de 2 Ω en serie, y después dos ramas en paralelo, una con 6 Ω y otra con 3 Ω y un capacitor de 2 µF descargado.

El circuito, con el capacitor descargado al conectarlo.

Justo después de cerrar: el capacitor descargado es un cable.

En el instante inicial, 6 Ω y 3 Ω quedan en paralelo y valen 2 Ω; con los 2 Ω de arriba son 4 Ω, y la batería entrega $12 / 4 = 3$ A. Los 2 Ω se quedan con 6 V, y el paralelo tiene los otros 6 V: 1 A por la de 6 Ω y 2 A por la rama del capacitor. El capacitor tiene 0 V entre las placas, pero por él pasa la mayor corriente de las dos ramas.

Mucho después: el capacitor es un corte.

Mucho después, la rama del capacitor está cortada y queda una sola malla: 12 V sobre 2 + 6 = 8 Ω, 1,5 A. La de 6 Ω tiene $1,5 \cdot 6 = 9$ V. Por la de 3 Ω no pasa corriente, así que no cae nada en ella, y el capacitor tiene esos mismos 9 V: la carga final es $Q = 2 μ F \cdot 9 V = 18 μ C$ .

Entre un instante y el otro la corriente del capacitor cae de 2 A a cero de manera exponencial, con una constante de tiempo $τ = R C$ . La $R$ es la que ve el capacitor desde sus bornes con la batería reemplazada por un cable: 3 Ω en serie con 2 Ω y 6 Ω en paralelo, 4,5 Ω, y $τ = 9 μ s$ . Cómo se llega ahí es el tema de la nota del circuito RC.

07 · Los errores típicos

Darle a la batería el signo de la corriente. Una batería suma $ε$ si se la cruza de − a +, aunque la corriente la atraviese al revés. La corriente sólo decide el signo de los $I R$ .
«Corregir» una corriente negativa antes de terminar. Si $I_{2}$ sale −3 A, en las demás ecuaciones se usa −3 A, no 3 A. El signo se interpreta al final.
Usar más mallas de las independientes. La malla de afuera es la suma de las otras: agregada al sistema da una ecuación repetida, y el sistema parece tener más información de la que tiene.
Contar esquinas como nodos. Dos puntos unidos por un cable son el mismo nodo. Contar de más da corrientes de más, y se termina con incógnitas que son la misma.
El capacitor como cable en el régimen estacionario. Es al revés: cable (si está descargado) al principio, corte al final. Y en el final su tensión no es cero ni tiene por qué ser la de la batería: es la que dejan las resistencias.

Para el instante inicial y el final con más de un capacitor, el ensayo el capacitor es un cable y después un corte sigue la cuenta en los problemas de los parciales.

Para tener a mano

Nodos: $\sum I_{entran} = \sum I_{salen}$ . Conservación de la carga. Con $n$ nodos, $n - 1$ ecuaciones.
Mallas: $\sum Δ V = 0$ . El potencial depende sólo del punto. Con $r$ ramas, $r - n + 1$ mallas: las ventanas del dibujo.
Signos: batería de − a +, $+ ε$ ; resistencia a favor de $I$ , $- I R$ ; capacitor de + a −, $- q / C$ .
Los sentidos se eligen al azar. Una corriente negativa iba al revés, con el mismo valor.
Control: un nodo en cero y caminar potenciales; o la energía, $\sum ε I = \sum I^{2} R$ .
Si con una sola batería se reduce por serie y paralelo, no hace falta Kirchhoff.
Capacitor: al cerrar la llave, fuente de $q_{0} / C$ (cable si está descargado); mucho después, corte, con $Q = C V$ .

Para leer más

Sears y Zemansky, volumen 2, capítulo 26, «Circuitos de corriente directa»: la sección 26.2, «Reglas o leyes de Kirchhoff», tiene la convención de signos con dibujos y una estrategia de resolución paso a paso, y la 26.4, «Circuitos R-C», sigue con el capacitor. Serway y Jewett, volumen 2, capítulo 27, «Circuitos de corriente directa», sección 27.3, «Leyes de Kirchhoff»; su ejemplo 27.7 es el circuito del Ejercicio 11.