Dónde se anula entre dos alambres

01 · El enunciado

02 · Antes de hacer cuentas

Qué modelo. Cada alambre crea un campo magnético en círculos a su alrededor, de módulo ${\mu }_{0}i/(2\pi r)$, perpendicular al radio. El campo total es la suma de las dos flechas, y se anula donde miden lo mismo y apuntan al revés.

Dónde puede anularse. Dos flechas que se cancelan son paralelas; como cada una es perpendicular a su radio, los dos radios son paralelos, y el punto está sobre la recta que une los alambres. Ahí, con las dos corrientes saliendo de la hoja, cada campo es vertical: hacia arriba a la derecha de su alambre, hacia abajo a la izquierda. Afuera de los dos, las flechas apuntan igual y se suman. Sólo entre los alambres se oponen, y ahí está el cero, como dice el enunciado.

Qué esperar. Con corrientes iguales, en el medio, por simetría. Con corrientes distintas, la chica sólo puede igualar a la grande desde más cerca: el cero se corre hacia la corriente más chica.

03 · La resolución

Paso 1: las flechas en un punto entre los dos. Un punto a distancia $x$ de a, y por lo tanto $d-x$ de b. El punto está a la derecha de a, así que el campo de a apunta hacia arriba; está a la izquierda de b, así que el de b apunta hacia abajo.

Paso 2: igualar los módulos. Las dos flechas son opuestas, así que el total se anula cuando miden lo mismo:

$$\frac{{\mu }_0{i}_a}{2\pi x}=\frac{{\mu }_0{i}_b}{2\pi (d-x)}$$

Paso 3: despejar. El ${\mu }_0/2\pi$ se va de los dos lados, y multiplicando en cruz:

$$i_a(d-x)=i_{b}x\Rightarrow x=\frac{d{i}_a}{i_a+i_b}$$

El campo se anula sobre la recta que une los alambres, a $d{i}_a/(i_a+i_b)$ del alambre a, y por lo tanto a $d{i}_b/(i_a+i_b)$ del b. En tres dimensiones no es un punto sino una recta paralela a los alambres: el resultado vale en cualquier corte.

Paso 4: según los valores de las corrientes. El cociente de las dos distancias es $x/(d-x)=i_a/i_b$: las distancias van en la proporción de las corrientes. De ahí los casos:

1. $i_a=i_b$: $x=d/2$, en el medio.
2. $i_a<i_b$: $x<d/2$, más cerca de a. Con $i_b=2i_a$, en $d/3$; con $i_b=3i_a$, en $d/4$.
3. $i_a>i_b$: $x>d/2$, más cerca de b. Con $i_a=2i_b$, en $2d/3$.

En una frase: el cero está entre los dos, del lado de la corriente más chica.

04 · El chequeo

Las unidades. $i_a/(i_a+i_b)$ es un número sin unidades entre 0 y 1, así que $x$ tiene unidades de largo y cae siempre entre los alambres, como tenía que ser.

La simetría. Cambiar los nombres de los alambres tiene que dar la misma posición medida desde el otro lado, y da: la distancia a b es $d{i}_b/(i_a+i_b)$, la misma fórmula con las letras cambiadas.

Los extremos. Si $i_b$ se achica hacia cero, $x$ tiende a $d$: el cero se pega al alambre b. Tiene sentido: una corriente chiquita sólo iguala a la otra muy de cerca, donde su campo, que va con $1/r$, crece sin límite.

Un caso con números. Con $i_a=1$ A, $i_b=3$ A y $d=1$ m, el cero está en 0,25 m. Ahí el alambre a, a 0,25 m, pone $2·{10}^{-7}·1/\mathrm{0,25}=\mathrm{0,80}$ µT, y el b, a 0,75 m, $2·{10}^{-7}·3/\mathrm{0,75}=\mathrm{0,80}$ µT. Iguales y opuestos.

05 · Lo que se lleva

Primero el tramo, después la ecuación. Antes de igualar nada, dibujar en cada tramo de la recta hacia dónde apunta cada campo. El cero sólo puede estar donde se oponen, y con eso se sabe cómo escribir las distancias: $x$ y $d-x$ si es entre, $x$ y $d+x$ si es afuera.

La proporción es toda la cuenta. Las distancias al cero van como las corrientes. Con eso el resultado sale sin ecuación, y sirve de chequeo: si el cero quedó más cerca de la corriente grande, algo está mal.

El sentido decide el tramo. Si las corrientes fueran opuestas, el cero estaría afuera, del lado de la chica, y con corrientes iguales y opuestas no habría cero. Eso, y los dos parciales que lo piden, está en el cero está del lado de la corriente chica.