La batería y el capacitor

01 · El enunciado

Para el sistema mostrado en la figura que consiste de un capacitor, una batería y una llave, comente cualitativamente que sucederá al cerrar la llave. ¿Cómo se distribuyen las cargas en el capacitor, es decir, cual plato queda con carga positiva y cual con negativa? ¿En qué se transforma y dónde se almacena la energía química de la batería (despreciando la disipación en forma de calor)?

02 · Antes de hacer cuentas

Qué hay antes de cerrar. Un capacitor descargado: dos placas de metal, neutras, separadas por aire. La placa izquierda ya está unida al borne + de la batería, pero con la llave abierta el circuito no se cierra y no pasa nada: la carga no tiene por dónde dar la vuelta.

Qué hace una batería. Una batería es una bomba de carga: con la energía de una reacción química, sostiene una tensión fija $Δ V$ entre sus bornes, y para sostenerla empuja carga por adentro de ella, del borne − al +. No crea carga: la que entrega por un borne la tiene que recibir por el otro.

Qué no puede pasar. Entre las placas hay aislante. Ninguna carga cruza de una placa a la otra; la corriente sólo puede ir por los cables, y sólo mientras las placas se estén cargando. Por eso la corriente va a ser transitoria: tiene que cortarse sola.

El dato llave. Qué placa está unida a qué borne. La izquierda va al +; la derecha, pasando por la llave, al −.

03 · La resolución

(a) Qué pasa al cerrar la llave. En el instante de cerrarla, el capacitor está descargado y sus dos placas están al mismo potencial: toda la tensión de la batería queda aplicada sobre los cables, y lo único que frena la corriente es la pequeña resistencia de los cables y de la propia batería. Arranca una corriente grande: la batería saca electrones de la placa izquierda, los pasa por adentro de ella del + al −, y los deposita en la placa derecha. Dicho con la corriente convencional, la que va al revés que los electrones: sale del + hacia la placa izquierda y vuelve desde la placa derecha al −.

A medida que las placas se cargan, entre ellas aparece una tensión que se opone a la de la batería, y lo que empuja a la corriente es cada vez menos. La corriente cae, y se apaga cuando la tensión entre las placas llega a $Δ V$ : ahí la batería y el capacitor empujan lo mismo en sentidos opuestos. El capacitor, que al cerrar la llave se comportaba como un cable, al final se comporta como un corte.

¿Cuánto dura? El tiempo característico es la constante de tiempo $τ = R C$ , con $R$ la resistencia de todo el lazo. Con cables comunes es poquísimo: un décimo de ohm y un capacitor de 10 µF dan 1 µs. Para el ojo, la carga es instantánea.

(b) Qué placa queda con qué carga. La placa izquierda perdió electrones: queda con carga positiva, $+ Q$ . La derecha los recibió: queda negativa, $- Q$ . Es la regla general: la placa unida al + de la batería termina positiva, y la unida al −, negativa. Y las dos cargas son iguales en módulo porque el circuito es un solo lazo: cada electrón que salió de una placa dio la vuelta por la batería y llegó a la otra. El capacitor entero sigue siendo neutro. El valor final sale de la definición de capacidad:

Q = C Δ V

La carga no se va al apagarse la corriente. Si después se abre la llave, las placas quedan aisladas con $\pm Q$ y la tensión $Δ V$ entre ellas: el capacitor quedó cargado.

(c) En qué se transforma la energía química. La batería gasta energía química para empujar carga de un borne al otro. Al terminar, la que queda guardada es energía potencial eléctrica: una placa con $+ Q$ frente a otra con $- Q$ , que se atraen y que costó separar. ¿Dónde está? En el campo eléctrico de entre las placas. Afuera el campo es prácticamente cero; adentro vale $E = Δ V / d$ , y cada metro cúbico de ese espacio guarda $\frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ . Multiplicado por el volumen $A d$ da la energía del capacitor:

U_{C} = \frac{1}{2} ε_{0} {(\frac{Δ V}{d})}^{2} A d = \frac{1}{2} C Δ V^{2} = \frac{1}{2} Q Δ V

Pero la batería entregó el doble. La batería empuja cada pedacito de carga $d q$ de un borne al otro contra su tensión fija, y eso le cuesta $Δ V d q$ , siempre lo mismo. En total movió $Q$ :

W_{batería} = Q Δ V = C Δ V^{2}

El capacitor, en cambio, recibe cada $d q$ a la tensión que tiene en ese momento, que arranca en cero y sube hasta $Δ V$ . Las primeras cargas entran gratis y sólo las últimas pagan la tensión entera: en promedio, $Δ V / 2$ . De ahí el $\frac{1}{2}$ . La diferencia, $\frac{1}{2} Q Δ V$ , se convirtió en calor en los cables y en la batería mientras pasaba la corriente.

Qué quiere decir «despreciando la disipación». Que no hace falta seguirle el rastro al calor: en qué cable se produce, a qué ritmo, cuánto se calienta cada cosa. La pregunta es en qué se convierte la energía que queda, y la respuesta es energía del campo eléctrico, entre las placas. Lo que la frase no puede querer decir es que el calor sea chico y que toda la energía química termine en el capacitor. Eso sería tentador, porque los cables casi no tienen resistencia. Pero la resistencia decide cuánto dura la carga, no cuánto se pierde:

R	al cerrar	τ = RC	calor	guardada
1 Ω	12 A	10 µs	0,72 mJ	0,72 mJ
100 Ω	0,12 A	1 ms	0,72 mJ	0,72 mJ
10 kΩ	1,2 mA	0,1 s	0,72 mJ	0,72 mJ

Son números de muestra, con una batería de 12 V y un capacitor de 10 µF, que guarda 0,72 mJ de los 1,44 mJ que entrega la batería. $R$ es la resistencia de todo el lazo, y la segunda columna, la corriente justo al cerrar la llave, $Δ V / R$ . El calor de cada fila sale de sumar $I^{2} R$ instante por instante a lo largo de la carga, y da lo mismo en las tres. Con menos resistencia la corriente es más grande pero dura menos, y las dos cosas se compensan exactas: $I^{2} R$ va con $1 / R$ y el tiempo va con $R$ . Ni con cables de resistencia cero se salva la mitad: la corriente sería enorme y la energía se iría radiada en vez de en calor. Es la tesis de el ensayo de la resistencia que no decide cuánto se pierde.

El balance entero, entonces: la energía química se convierte en trabajo eléctrico de la batería, $Q Δ V$ ; la mitad queda almacenada en el campo eléctrico entre las placas y la otra mitad se disipa durante la carga.

04 · El chequeo

Las unidades. $Q Δ V$ es C·V, y un voltio es un joule por coulomb: C·J/C = J. $\frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ es C²/(N·m²)·(N/C)² = N/m² = J/m³: energía por volumen, como tiene que ser.

La carga se conserva. $+ Q$ en una placa y $- Q$ en la otra suman cero, igual que antes de cerrar la llave. La batería no puso carga nueva: la cambió de lugar.

Al revés. Si la placa izquierda estuviera unida al −, todo se da vuelta: corriente en el otro sentido, la izquierda negativa, la derecha positiva. La energía, en cambio, va con $Δ V^{2}$ y no cambia: un capacitor guarda lo mismo cargado de un lado que del otro.

Las dos maneras de calcular el calor coinciden. El calor de la tabla salió de sumar $I^{2} R$ en el tiempo, sin usar la energía del capacitor; la mitad salió de restar $Q Δ V - \frac{1}{2} Q Δ V$ . Son dos cuentas distintas y dan lo mismo: 0,72 mJ.

05 · Lo que se lleva

La placa unida al + queda positiva. Se lee del dibujo siguiendo el cable, sin cuentas. Y las dos placas tienen siempre cargas opuestas e iguales: es la misma carga, cambiada de lugar.

La corriente es transitoria. Al cerrar la llave, el capacitor descargado es un cable; al final, un corte. Esos dos instantes son los que preguntan los parciales, y se cuentan en el ensayo del capacitor que es un cable y después un corte.

Cargar un capacitor desde una batería cuesta el doble de lo que se guarda. La batería entrega $Q Δ V$ y el campo se queda con $\frac{1}{2} Q Δ V$ . La resistencia del circuito decide cuánto tarda, no cuánto se pierde. En el Ejercicio 12 pasa lo mismo con dos capacitores que se reparten una carga: el capacitor que se reparte.