Dibujar líneas y equipotenciales

El ejercicio no pide ningún número: pide dibujos. Y un dibujo de campo no se corrige mirando si está prolijo, sino mirando si cumple unas pocas reglas. Si las cumple, está bien aunque esté hecho a mano alzada; si rompe una, está mal aunque sea hermoso.

01 · El enunciado

02 · Antes de dibujar

Qué se pide. Dos familias de curvas en cada caso. Las «líneas de fuerza» son las líneas de campo: curvas tangentes al campo en cada punto, con una flecha que marca su sentido. Las equipotenciales son las curvas donde el potencial vale lo mismo. En un dibujo plano, las dos son curvas; en el espacio, las equipotenciales son superficies, y lo que se dibuja es su corte con el papel.

Con qué se dibuja. No hace falta calcular el campo en ningún punto. Alcanza con cuatro herramientas:

1. La simetría. Si al girar o correr el arreglo de cargas no cambia nada, el dibujo tampoco puede cambiar. Es lo que da la forma antes de pensar nada más.
2. Las reglas de las líneas. Salen de las cargas positivas y entran en las negativas; su cantidad es proporcional a la carga; donde están más juntas el campo es más intenso; y no se cortan.
3. El ángulo recto. El campo es perpendicular a las equipotenciales, porque moverse sobre una de ellas no le cuesta trabajo al campo. Una vez dibujadas las líneas, las equipotenciales salen solas: son las curvas que cruzan cada línea a 90°.
4. El mismo salto de potencial. Se dibujan equipotenciales separadas por el mismo $\Delta V$. Entonces la distancia entre dos consecutivas es $\Delta s\approx \Delta V/E$: quedan apretadas donde el campo es fuerte.

La llave es el orden: primero las líneas, con la simetría y las reglas; después las equipotenciales, como perpendiculares. Hacerlo al revés también se puede, pero las equipotenciales de un arreglo cualquiera son más difíciles de adivinar que sus líneas.

Qué se espera. La carga puntual no distingue ninguna dirección de otra: todo tiene que ser radial y esférico. El campo uniforme es igual en todas partes: todo tiene que ser recto y parejo. El dipolo tiene un eje y un plano especial en el medio, y el dibujo tiene que respetar los dos.

03 · (a) La carga puntual

Las líneas. Una carga sola, en el espacio vacío, no tiene ninguna dirección preferida. Si su campo se torciera hacia algún lado, girando el dibujo se tendría otro campo distinto para la misma carga, y eso no puede ser. Así que el campo es radial, y las líneas son rectas que pasan por la carga. Si la carga es positiva, salen; si es negativa, entran. Se dibujan repartidas de manera pareja alrededor: se separan al alejarse, y eso dice que el campo se debilita.

Las equipotenciales. El potencial de la carga, $V=kq/r$, sólo depende de la distancia. Los puntos a la misma distancia forman una esfera, que en el papel es una circunferencia centrada en la carga. Las circunferencias centradas cortan a las rectas radiales a 90°: las dos familias se confirman entre sí.

Cuán separadas. Con el mismo salto $\Delta V$, la equipotencial número $n$ tiene $V=n\Delta V$ y radio $r_n=kq/(n\Delta V)$. La distancia entre dos consecutivas es

$$r_n-r_{n+1}=\frac{kq}{\Delta V}\frac{1}{n(n+1)}$$

que se achica rápido al acercarse. Para la figura, con $q=1$ nC y $\Delta V=60$ V, las cuatro primeras tienen radios de 15,0, 7,49, 4,99 y 3,75 cm, y las separaciones son 7,49, 2,50 y 1,25 cm: van como 6 : 2 : 1, sea cual fuere la carga. No están equiespaciadas, y dibujarlas parejas es el error más común del ejercicio.

La carga negativa da el mismo dibujo con las flechas dadas vuelta y los potenciales negativos. Las circunferencias quedan en los mismos radios, porque $|V|$ sólo depende de $|q|$.

04 · (b) El campo uniforme

Las líneas. Un campo uniforme tiene el mismo módulo y la misma dirección en toda la región. Una línea tangente a un campo que nunca cambia de dirección es una recta, y todas son paralelas. Como el módulo tampoco cambia, la densidad de líneas es la misma en todas partes: quedan equiespaciadas. Así es el campo entre dos placas paralelas, lejos de los bordes, y las líneas van de la placa positiva a la negativa.

Las equipotenciales. Perpendiculares a rectas paralelas son planos perpendiculares a ellas; en el papel, rectas cruzadas a 90°. Con el eje $x$ a lo largo del campo, el potencial baja parejo,

$$V(x)=V_0-Ex$$

así que con el mismo salto $\Delta V$ los planos quedan a la misma distancia, $\Delta x=\Delta V/E$. Para la figura, con $E=200$ N/C y $\Delta V=10$ V, uno cada 5 cm. El potencial más alto está del lado de donde vienen las líneas: el campo apunta hacia donde $V$ baja.

05 · (c) El dipolo

Un dipolo son dos cargas iguales y opuestas, $+q$ y $-q$, a una distancia fija. Las líneas se arman por partes, cada parte con una regla.

Cerca de cada carga, manda esa carga. Muy cerca de $+q$ la otra está lejos en comparación, y el dibujo es el de una carga puntual: líneas que salen radiales. Muy cerca de $-q$, líneas que entran radiales.

Todas las que salen, llegan. Las dos cargas tienen el mismo valor, así que de la positiva salen tantas líneas como entran en la negativa. Cada línea que sale de $+q$ termina en $-q$, y para llegar se curva. Las que salen hacia el lado de afuera dan una vuelta más grande.

En el segmento entre las dos. El campo de $+q$ se aleja de ella y el de $-q$ va hacia ella: entre las dos, los dos apuntan para el mismo lado y se suman. La línea del eje es recta, y es la zona más densa del dibujo.

En el plano del medio. Un punto del plano mediador —el de los puntos a la misma distancia de las dos cargas— recibe dos campos del mismo módulo. Sus componentes perpendiculares al eje se cancelan por simetría, y las paralelas se suman: el campo ahí es paralelo al eje y apunta hacia el lado de la negativa. Las líneas cruzan el plano en ángulo recto.

Las equipotenciales. Cerca de cada carga, casi circunferencias, como las de una carga sola, que se deforman y se abren hacia afuera al alejarse. Las del lado de $+q$ tienen potencial positivo y las del lado de $-q$, negativo. Y el plano mediador es una de ellas: cada punto está a la misma distancia $r$ de las dos cargas, así que

$$V=\frac{kq}{r}+\frac{k(-q)}{r}=0$$

Es la equipotencial $V=0$, y es perpendicular al campo, que ahí es paralelo al eje: las dos conclusiones salieron por caminos distintos y coinciden. Que $V$ sea cero en ese plano no quiere decir que el campo lo sea.

06 · El chequeo

Cada dibujo se revisa con las mismas preguntas, que son las que mira quien corrige:

1. ¿Las flechas? Salen de la positiva y entran en la negativa. En el campo uniforme, apuntan hacia el potencial más bajo.
2. ¿Se corta alguna línea? En ninguno de los tres casos hay un punto de campo nulo a la vista, así que no puede haber ningún cruce.
3. ¿Los cruces son rectos? Cada equipotencial corta a cada línea a 90°. En el dipolo es lo que más cuesta a mano, y lo que más delata un dibujo inventado.
4. ¿Las separaciones dicen lo mismo? Donde las líneas se aprietan, las equipotenciales también. En la carga puntual, ninguna de las dos familias está equiespaciada; en el uniforme, las dos.
5. ¿Lejos, lo esperable? Lejos de una carga sola las líneas siguen saliendo, cada vez más separadas. Lejos del dipolo el campo se debilita más rápido: visto de lejos, $+q$ y $-q$ casi se compensan, y las líneas que se alejan son pocas y vuelven.

07 · Lo que se lleva

Primero las líneas, después las equipotenciales. La simetría y las reglas dan las líneas; el ángulo recto da las equipotenciales. Es la decisión que vuelve cada vez que un parcial pide «dibuje», sea cual fuere el arreglo de cargas.

La separación es información. Con el mismo $\Delta V$, la distancia entre equipotenciales es $\Delta V/E$. Sólo el campo uniforme las deja parejas.

Potencial cero y campo cero son preguntas distintas. El plano del medio del dipolo tiene $V=0$ con el campo cruzándolo. Dónde se anula cada uno sobre la recta de dos cargas es justo lo que pide el Ejercicio 10.