El signo de las cargas

Es el primer problema del Parcial 2 del 9 de noviembre de 2021, y está dado vuelta respecto de los del práctico: en vez de dar las cargas y pedir la fuerza, da la dirección de la fuerza y pide deducir las cargas. La herramienta es la misma —la ley de Coulomb y la superposición—, pero usada al revés: cada dato del dibujo descarta posibilidades hasta que queda una sola.

01 · El enunciado

Tres cargas se colocan como se ilustra en la figura. La magnitud de q₁ es 2,00 µC, pero no se conoce su signo. Tampoco sabemos la información de la carga q₂. La carga q₃ es de +4,00 µC, y la fuerza neta sobre q₃ está por completo en la dirección negativa del eje x (flecha en la figura).

Considere los diferentes signos posibles de q₁ y q₂. Hay cuatro posibles diagramas de fuerza que representan las fuerzas que ellas ejercen sobre q₃. Haga un esquema cualitativo de cada una de esas cuatro configuraciones de fuerza posibles.
Con el empleo de los diagramas del inciso anterior y la dirección de la fuerza neta sobre q₃ deduzca los signos de las cargas q₁ y q₂.
Calcule la magnitud de q₂.
Determine F, la magnitud de la fuerza neta sobre q₃.
Calcule la energía potencial eléctrica de la carga q₃ por estar en presencia de las otras dos cargas.

Ayuda: note que la figura muestra un triángulo rectángulo de la forma (3, 4, 5). Con esa información puede averiguar los ángulos interiores.

02 · Antes de hacer cuentas

Qué es fijo y qué no. La fuerza que $q_{1}$ hace sobre $q_{3}$ va siempre sobre la recta que las une: si las dos tienen el mismo signo se repelen y la fuerza apunta alejándose de $q_{1}$ ; si tienen signos opuestos se atraen y apunta hacia $q_{1}$ . Como $q_{3}$ es positiva, el signo de $q_{1}$ decide el sentido y nada más: la dirección la pone la geometría. Lo mismo con $q_{2}$ . Dos cargas con dos signos posibles cada una son cuatro combinaciones, y por eso el inciso (a) habla de cuatro diagramas.

La llave es el ángulo recto. El triángulo 3-4-5 tiene el ángulo recto en $q_{3}$ , frente al lado más largo. Entonces las dos rectas de acción —la de $q_{1}$ y la de $q_{2}$ — son perpendiculares en $q_{3}$ . Llamando $α$ al ángulo que forma el lado de 4 cm con la base,

\cos α = \frac{4}{5} = 0,8, sen α = \frac{3}{5} = 0,6

y el lado de 3 cm forma con la base el ángulo complementario. Con $q_{1}$ en el origen y $q_{2}$ en $(5,00; 0)$ cm, $q_{3}$ está en $(4 \cos α; 4 sen α) = (3,20; 2,40)$ cm. Los versores que salen de cada carga hacia $q_{3}$ son

{\hat{u}}_{13} = (0,8; 0,6), {\hat{u}}_{23} = (- 0,6; 0,8)

Uno apunta arriba a la derecha, el otro arriba a la izquierda, y su producto escalar es cero.

Qué tiene que pasar. Que la fuerza neta esté «por completo» en −x son dos condiciones a la vez: las componentes en $y$ de las dos fuerzas se cancelan, y las componentes en $x$ suman algo negativo. La primera condición es la que va a dar $| q_{2} |$ ; la segunda, junto con la primera, los signos. El orden de magnitud: $k \cdot 2 µC \cdot 4 µC$ a 4 cm son decenas de newtons, una fuerza enorme para cargas de microcoulombs a centímetros.

03 · Los cuatro diagramas

Las cuatro configuraciones de los incisos (a) y (b). En cada una, la flecha tenue que sale de $q_{3}$ sobre el lado de 4 cm es ${\vec{F}}_{1}$ , la que va sobre el lado de 3 cm es ${\vec{F}}_{2}$ , y la azul es la suma.

q₁ > 0, q₂ > 0: las dos empujan hacia arriba. Las y no se cancelan nunca.

q₁ > 0, q₂ < 0: las y se pueden cancelar, pero las dos x van hacia +x.

q₁ < 0, q₂ > 0: las y se cancelan con el |q₂| justo, y las x suman hacia −x. Es ésta.

q₁ < 0, q₂ < 0: las dos tiran hacia abajo. Las y no se cancelan nunca.

El descarte va en dos pasos, y conviene escribirlo así en el examen. Primero las $y$ . ${\hat{u}}_{13}$ y ${\hat{u}}_{23}$ tienen las dos componente $y$ positiva. Si $q_{1}$ y $q_{2}$ tienen el mismo signo, las dos fuerzas tienen el mismo sentido sobre su versor, y sus componentes en $y$ suman sin cancelarse, valgan lo que valgan los módulos: quedan descartadas las dos combinaciones de signos iguales. Después las $x$ . De las dos que quedan, con signos opuestos, una manda las dos componentes $x$ hacia +x y la otra hacia −x. La neta apunta a −x, así que ${\vec{F}}_{1}$ tiene que ir hacia $q_{1}$ —atracción— y ${\vec{F}}_{2}$ alejándose de $q_{2}$ —repulsión—:

q_{1} < 0, q_{2} > 0

Con los signos iguales, mover $| q_{2} |$ sólo cambia cuánto se inclina la neta hacia arriba o hacia abajo: nunca la acuesta. Con $q_{1} > 0$ y $q_{2} < 0$ sí se acuesta, pero del lado equivocado. Y con la combinación que queda hay un único $| q_{2} |$ que la deja sobre −x: es el inciso (c).

04 · La resolución

(a) y (b) Son los cuatro diagramas de arriba, con el descarte en dos pasos: $q_{1} < 0$ y $q_{2} > 0$ . O sea $q_{1} = - 2,00 µC$ .

(c) Ya con los signos, los sentidos están decididos: ${\vec{F}}_{1}$ apunta hacia $q_{1}$ , sobre $- {\hat{u}}_{13}$ , y ${\vec{F}}_{2}$ sobre $+ {\hat{u}}_{23}$ . Con $F_{1}$ y $F_{2}$ los módulos, la componente $y$ de la neta es

F_{y} = - F_{1} sen α + F_{2} \cos α = 0 \Rightarrow F_{2} = F_{1} \tan α = \frac{3}{4} F_{1}

El módulo de $F_{1}$ sale de Coulomb con todo conocido:

F_{1} = \frac{k | q_{1} | q_{3}}{r_{13}^{2}}

F_{1} = \frac{8,99 \cdot 10^{9} \cdot 2,00 \cdot 10^{- 6} \cdot 4,00 \cdot 10^{- 6}}{{(0,0400)}^{2}} = 44,95 N

así que $F_{2} = 33,71 N$ , y despejando de $F_{2} = k q_{2} q_{3} / r_{23}^{2}$ ,

q_{2} = \frac{F_{2} r_{23}^{2}}{k q_{3}} = \frac{33,71 \cdot {(0,0300)}^{2}}{8,99 \cdot 10^{9} \cdot 4,00 \cdot 10^{- 6}} = 0,844 µC

Hay un camino más corto, que no pasa por los newtons. $k$ y $q_{3}$ están en las dos fuerzas y se van del cociente, y queda sólo geometría:

\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{q_{2} / r_{23}^{2}}{| q_{1} | / r_{13}^{2}} = \frac{3}{4} \Rightarrow q_{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{9}{16} \cdot 2,00 µC

(d) La componente $x$ de la neta, con las dos componentes hacia −x:

F = F_{1} \cos α + F_{2} sen α = 35,96 + 20,23 = 56,2 N

Como ${\vec{F}}_{1}$ y ${\vec{F}}_{2}$ son perpendiculares, la neta es la hipotenusa del triángulo que forman, y da lo mismo por Pitágoras: $\sqrt{{44,95}^{2} + {33,71}^{2}} = 56,2 N$ . La fuerza neta es $\vec{F} = (- 56,2; 0) N$ .

(e) La energía potencial eléctrica de $q_{3}$ en presencia de las otras dos es $q_{3}$ por el potencial que ellas crean en su lugar. Es un escalar: no hay ángulos, pero los signos entran tal cual.

U = k q_{3} (\frac{q_{1}}{r_{13}} + \frac{q_{2}}{r_{23}}) = - 1,798 + 1,011 = - 0,787 J

El par $q_{1} q_{3}$ , que se atrae, aporta $- 1,798 J$ ; el par $q_{2} q_{3}$ , que se repele, $+ 1,011 J$ . Dicho como potencial: las otras dos crean en el lugar de $q_{3}$ un $V = - 1,97 \cdot 10^{5} V$ , y $U = q_{3} V$ . El par $q_{1} q_{2}$ no entra: no involucra a $q_{3}$ .

05 · El chequeo

Unidades. En (c), N·m² sobre (N·m²/C²)·C da C. En (e), (N·m²/C²)·C·C/m da N·m, o sea J.

El resultado, de vuelta. Con $q_{2} = + 0,844 µC$ calculado por superposición directa, la fuerza neta sobre $q_{3}$ sale $(- 56,19; 0,00)$ N: la componente $y$ se anula y la $x$ es la de (d).

¿Da razonable? $q_{2}$ sale más chica que $| q_{1} |$ aunque está más cerca, y tiene que ser así: $F_{2}$ sólo tiene que ser 3/4 de $F_{1}$ , y estar a 3 cm en vez de 4 ya la multiplica por 16/9. Y $U$ es negativa porque domina el par que se atrae: $| q_{1} | / r_{13}$ son 50 µC/m contra los 28 µC/m de $q_{2} / r_{23}$ .

06 · Lo que se lleva

La geometría fija la dirección, el signo elige el sentido. Toda fuerza de Coulomb entre dos cargas puntuales vive sobre la recta que las une. Cuando faltan signos, cada carga desconocida aporta una flecha con dos sentidos posibles, y el dato de la neta va tachando combinaciones. Es más rápido tachar con un dibujo que con un sistema de ecuaciones con signos sueltos.

Primero la componente que tiene que dar cero. La condición «por completo en −x» es una ecuación ( $F_{y} = 0$ ) y una desigualdad ( $F_{x} < 0$ ). La ecuación da el módulo que falta; la desigualdad, el signo.

Fuerza con flechas, energía con signos. En (c) y (d) se trabaja con módulos y ángulos; en (e) con los valores con signo y sin ángulos. Mezclar las dos cosas —meter $\cos α$ en el potencial, o el valor absoluto en $U$ — es el error típico de este tipo de problema. Lo desarrolla el campo con flechas, el potencial con números.

07 · Qué evalúa este problema

Saber que la fuerza de Coulomb tiene la dirección de la recta entre las cargas y que el signo del producto decide atracción o repulsión.
Leer la geometría: el triángulo 3-4-5 da el ángulo recto en $q_{3}$ y los cosenos sin calculadora.
Razonar al revés: usar el resultado (la dirección de la neta) para deducir los datos que faltan (los signos), descartando casos.
Superponer por componentes y despejar una carga de una condición de equilibrio en una sola dirección.
Distinguir la energía potencial, un escalar con signo, de la fuerza, un vector.